Геометрија – подударност троуглова 1

Подударност троуглова. Дефиниција подударности. Ставови о подударности. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Докажи да су два троугла подударни ако су подударне

по две странице и тежишне дужи које одговарају једној

од њих.

Пр.2 Докажи да су два троугла подударни ако су подударне

по две странице и висина на трећу страницу.

Пр.1

Потребно jе показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни. Имамо да je $c = {c_1},$ $D$ - средиште $c$ , ${D_1}$ -средиште ${c_1}.$

Онда

$AD = {A_1}{D_1} = DB = {D_1}{B_1} = \frac{c}{2}$

За троуглове $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ знамо

$b = {b_1},{t_c} = {t_{c_1}},\frac{c}{2} = \frac{{{c_1}}}{2}$

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ подударни (ССС), онда $\angle \alpha = \angle {\alpha _1}$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо

$b = {b_1},c = {c_1},\angle \alpha = \angle {\alpha _1}$

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (СУС).

Пр.2

Потребно je показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни. $CD$ и ${C_1}{D_1}$ су висине $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}.$

За троуголве $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ знамо

$b = {b_1},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDA = \angle C_1D_1A_1=90^\circ$

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ подударни, онда $\angle \alpha = \angle {\alpha _1},$ $AD = {A_1}{D_1}$

За троуголове $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ знамо

$a = {a_1},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDB = \angle C_1D_1B_1=90^\circ$

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ подударни, онда $\angle \beta = \angle {\beta _1},$ $DB = {D_1}{B_1}.$

Даље можемо да запишемо

$AD+DB = {A_1}{D_1}+{D_1}{B_1}$ или $с =с_1.$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо

$а = {а_1},b = {b_1},c = {c_1}$

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (ССС).

Два троугла су подударна ако им се одговарајуће странице и углови поклапају, тј. ако се један може преклопити преко другог. Довољно је проверити један од ставова: СУС (две странице и угао између њих), УСУ (страница и два налегла угла), ССС (три странице) и ССУ (две странице и угао наспрам веће од њих).

Кад су задате тежишне дужи или висине, тражите мање подударне троуглове. Ако је $b = b_1$ , $c = c_1$ и $t_c = t_{c_1}$ , троуглови $ADC$ и $A_1D_1C_1$ имају странице $b$ , $t_c$ и $\frac{c}{2}$ , па су подударни по ставу ССС. Одатле је $\alpha = \alpha_1$ , па су по ставу СУС подударни и цели троуглови. Пазите: три једнака угла не дају подударност, већ само сличност.

BC = CD30 m

Ширина реке AB: 34 m
DE: 34 m

Ма где поставили кочић, ако је

D

једнако удаљено од

C

као и

B

, троуглови

ABC

и

EDC

су подударни по ставу УСУ, па је

DE

једнако ширини реке

AB

.

Троугао је крут: по ставу ССС три дужине одређују облик, па се мостови, кранови и кровне конструкције праве од троуглова, а рам од четири летве може да се искриви.

Ширина реке

Ученици са наставником мере ширину реке код Чачка, не прелазећи је. На другој обали је дрво $A$ , а тачно преко пута, на њиховој обали, тачка $B$ . Дуж обале одмере 30 m до кочића $C$ , па још 30 m до тачке $D$ . Из $D$ иду нормално на обалу, даље од реке, док им се кочић $C$ и дрво $A$ не нађу на истој правој; ту обележе тачку $E$ и измере $DE = 34$ m. Колика је ширина реке?

Решење

Троуглови $ABC$ и $EDC$ имају једнаке странице $BC = DC = 30$ m.
Углови код $B$ и $D$ су прави, $\measuredangle ABC = \measuredangle EDC = 90^\circ$ , јер су $AB$ и $DE$ нормални на обалу.
Углови код $C$ су унакрсни, $\measuredangle ACB = \measuredangle ECD$ , јер $C$ лежи на правој $AE$ , а $B$ и $D$ на обали са разних страна тачке $C$ .
По ставу УСУ троуглови $ABC$ и $EDC$ су подударни, па је $AB = DE = 34$ m.

Одговор: Река је широка 34 m.

Задатак за вежбу

Докажите да су два једнакокрака троугла подударна ако имају једнаке основице и једнаке висине на основицу.

Прикажи решење

Висина на основицу једнакокраког троугла полови основицу. Правоугли троуглови $ADC$ и $A_1D_1C_1$ имају катете $\frac{c}{2} = \frac{c_1}{2}$ и $h = h_1$ са правим углом између њих, па су подударни (СУС), одакле су краци једнаки. Цели троуглови тада имају једнаке све три странице, па су подударни (ССС).