Геометрија – четвороуглови 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2   Нека су $M$ и $N$ средишта страница $BC$ и $CD$

          паралелограма $ABCD$. Праве $AM$ и $AN$ секу дија-

          гоналу $BC$ у рачкама $K$ и $L$. Покажи да ове тачке

          секу дијагоналу на три једнака дела.

Пр.3   У трапезу $ABCD$ средња линија је $18cm$. Права која

          пролази кроз тачку $D$ и паралелна је са краком $BC$,

          сече основицу $AB$ у тачки $E$. Одреди дужине основица

          трапеза ако знамо да је $AE = 1cm$.

Пр.2

Нека jе тачка М средиште ВС, а тачка N средиште СD. Праве АN и АМ секу дуж  ВD у тачкама K и L.

Показаћемо да jе 

$$BK = KL = LD$$

За $\vartriangle ABC$ важи:

О- jе средиште АС, онда ВО jе тежишна дуж $\vartriangle ABC$, тачка М  jе средиште ВС,  онда АМ jе тежишна дуж $\vartriangle ABC$. Тежишне дужи секу се у тачки К. Онда jе К тежиште $\vartriangle ABC$. Тежиште дели тежишне дужи у односу 2:1 почевши од врха.

$$\frac{{DK}}{{KO}} = \frac{2}{1}$$ 

За $\vartriangle ADC$ је важи:

О- jе средиште АС, онда ВО jе тежишна дуж $\vartriangle ADC$, тачка N  jе средиште DС,  онда АN jе тежишна дуж $\vartriangle ADC$. Тежишне дужи секу се у тачки L. Онда L  jе тежиште $\vartriangle ADC$. Тежиште дели тежишне дужи у односу 2:1 почевши од врха.

$$\frac{{DL}}{{LO}} = \frac{2}{1}$$ 

 Добили смо $\frac{{DK}}{{KO}} = \frac{2}{1},$ $\frac{{DL}}{{LO}} = \frac{2}{1},$ DO=BO, онда

DL=LK=KB

Пр.3

Нека jе MN средња линија трапеза. $$MN = \frac{{AB + CD}}{2}$$

За $\square DEBC$ важи:

$DE\parallel BC,DC\parallel EB \Rightarrow \square DEBC$ - паралелограм.

Онда $$DC = BE$$

$$\begin{aligned}&\frac{{AB + CD}}{2} = 18 \\ &AB + CD = 36 \\ &AB + EB = 36 \\ &AB + AB - AE = 36 \\ &2AB = 37 \\ &AB = 18,5\end{aligned}$$

Даље

$$\begin{aligned}&AB + CD = 36 \\ &CD = 36 - 18,5 \\ &CD = 17,5\end{aligned}$$