Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – пример 5

Функционална једначина и инверзна функција.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5   f(x)=5x+3f\left( x \right) = 5x + 3 и g(2x−1)=x−3g\left( {2x - 1} \right) = x - 3. Одредити f−1∘g(x)={f^{ - 1}} \circ g\left( x \right) = и g−1∘f−1(x)={g^{ - 1}} \circ {f^{ - 1}}\left( x \right) =.

Пр.5

1) Израчунамо f−1(x){f^{ - 1}}\left( x \right). Знамо да је f−1(f(x))=x{f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x онда f−1(f(5x+3))=x{f^{ - 1}}\left( {f\left( {5x + 3} \right)} \right) = x.

Замена:

5x+3=t5x=t−3x=t−35\begin{aligned}&5x + 3 = t \\ &5x = t - 3 \\ &x = \frac{{t - 3}}{5}\end{aligned}

f−1(t)=t−35f−1(x)=x−35\begin{aligned}&{f^{ - 1}}\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{5} \\ &{f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{5}\end{aligned}

2) g(x)=g(2x−1)=x−32x−1=t2x=t+1x=t+12g(t)=t+12−3g(t)=t+1−62g(t)=t−52g(x)=x−52\begin{aligned}&g\left( x \right) = \\ &g\left( {2x - 1} \right) = x - 3 \\ &2x - 1 = t \\ &2x = t + 1 \\ &x = \frac{{t + 1}}{2} \\ & \\ &g\left( t \right) = \frac{{t + 1}}{2} - 3 \\ &g\left( t \right) = \frac{{t + 1 - 6}}{2} \\ &g\left( t \right) = \frac{{t - 5}}{2} \\ &g\left( x \right) = \frac{{x - 5}}{2}\end{aligned}

3) g−1(x)=g−1(g(x))=xg−1(x−52)=xx−52=tx−5=2tx=2t+5g−1(t)=2t+5g−1(x)=2x+5\begin{aligned}&{g^{ - 1}}\left( x \right) = \\ &{g^{ - 1}}\left( {g\left( x \right)} \right) = x \\ &{g^{ - 1}}\left( {\frac{{x - 5}}{2}} \right) = x \\ &\frac{{x - 5}}{2} = t \\ &x - 5 = 2t \\ &x = 2t + 5 \\ & \\ &{g^{ - 1}}\left( t \right) = 2t + 5 \\ &{g^{ - 1}}\left( x \right) = 2x + 5\end{aligned}

f−1∘g(x)=f−1(g(x))=f−1(x−52)=x−52−35=x−5−625==x−1110g−1∘f−1(x)=g−1(f−1(x))=g−1(x−35)=2x−35+5==2x−65+5=2x−6+255=2x+195\begin{aligned}&{f^{ - 1}} \circ g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( {g\left( x \right)} \right) = {f^{ - 1}}\left( {\frac{{x - 5}}{2}} \right) = \frac{{\frac{{x - 5}}{2} - 3}}{5} = \frac{{\frac{{x - 5 - 6}}{2}}}{5} = \\ &= \frac{{x - 11}}{{10}} \\ &{g^{ - 1}} \circ {f^{ - 1}}\left( x \right) = {g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = {g^{ - 1}}\left( {\frac{{x - 3}}{5}} \right) = 2\frac{{x - 3}}{5} + 5 = \\ &= \frac{{2x - 6}}{5} + 5 = \frac{{2x - 6 + 25}}{5} = \frac{{2x + 19}}{5}\end{aligned}

Инверзна функција f−1f^{-1} поништава дејство функције ff: f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x. Налазите је тако што у y=f(x)y = f(x) изразите xx преко yy, па замените ознаке: из y=4x−1y = 4x - 1 следи x=y+14x = \frac{y + 1}{4}, тј. f−1(x)=x+14f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{4}. Инверзна функција постоји само за бијекцију, а графици ff и f−1f^{-1} симетрични су у односу на праву y=xy = x.

Композиција (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) прво примењује gg, па ff. Инверз композиције иде обрнутим редом: (f∘g)−1=g−1∘f−1(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}, као што се прво изују ципеле, па тек онда скину чарапе. Честа грешка је f−1(x)=1f(x)f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}: изложилац −1-1 овде не значи реципрочну вредност. Инверзну функцију проверите: f(f−1(x))f(f^{-1}(x)) мора дати xx.

123456123456xyg(f(x))f⁻¹(g⁻¹(x))y = x
3,75 хиљ. дин.
Цена робе
3750 дин.
Плаћено
4800 дин.
Графици функције и њене инверзне функције симетрични су у односу на праву y=xy = x: тачка (3,75; 4,8)(3{,}75;\ 4{,}8) прелази у (4,8; 3,75)(4{,}8;\ 3{,}75). Плава права из цене робе даје плаћени износ, а зелена из плаћеног износа враћа цену робе, у хиљадама динара.

Инверзна функција враћа почетни износ из крајњег: цену робе из цене са ПДВ-ом и доставом, температуру у степенима Целзијуса из степени Фаренхајта, износ у динарима из износа у еврима.

Цена без ПДВ-а

Интернет продавница на цену робе xx без ПДВ-а прво додаје ПДВ од 20 %, f(x)=1,2xf(x) = 1{,}2x, а затим доставу од 300 динара, g(x)=x+300g(x) = x + 300. Купац је платио 4800 динара. Колика је цена робе без ПДВ-а?

Решење

  1. Плаћени износ је (g∘f)(x)=g(f(x))=1,2x+300(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 1{,}2x + 300.
  2. Инверзне функције су f−1(x)=x1,2f^{-1}(x) = \frac{x}{1{,}2} и g−1(x)=x−300g^{-1}(x) = x - 300.
  3. Инверз композиције иде обрнутим редом, (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}: прво одузмемо доставу, па поделимо са 1,2.
  4. f−1(g−1(4800))=4800−3001,2=45001,2=3750f^{-1}(g^{-1}(4800)) = \frac{4800 - 300}{1{,}2} = \frac{4500}{1{,}2} = 3750. Провера: 1,2⋅3750+300=48001{,}2 \cdot 3750 + 300 = 4800.
  5. Погрешан ред, 48001,2−300=3700\frac{4800}{1{,}2} - 300 = 3700, дао би погрешну цену.

Одговор: Роба кошта 3750 динара без ПДВ-а.

Задатак за вежбу

Дате су функције f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 и g(x+1)=2x+5g(x + 1) = 2x + 5. Одредите g(x)g(x), f−1(x)f^{-1}(x) и (f−1∘g)(x)(f^{-1} \circ g)(x).

Прикажи решење

Смена x+1=tx + 1 = t даје g(t)=2(t−1)+5=2t+3g(t) = 2(t - 1) + 5 = 2t + 3, тј. g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3. Из y=3x−2y = 3x - 2 је f−1(x)=x+23f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}, па је (f−1∘g)(x)=2x+3+23=2x+53(f^{-1} \circ g)(x) = \frac{2x + 3 + 2}{3} = \frac{2x + 5}{3}.