Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Тригонометријске функције оштрог угла – примери 3

Тригонометријске функције оштрог угла правоуглог троугла. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5   Израчунати вредност израза sin⁡2α−3cos⁡2α2sin⁡2α+cos⁡2α\frac{{{{\sin }^2}\alpha - 3{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} , ако је tgα=3tg\alpha = 3.

Пр.6  Ако је 3sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+2cos⁡α=1\frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = 1, одреди tgαtg\alpha.

Пр.5

tgα=3tgα=sin⁡αcos⁡αsin⁡αcos⁡α=3∣⋅cos⁡αsin⁡α=3⋅cos⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=1(3⋅cos⁡α)2+cos⁡2α=19⋅cos⁡2α+cos⁡2α=110cos⁡2α=1cos⁡2α=110cos⁡α=1010sin⁡α=31010\begin{aligned}&tg\alpha = 3 \\ &tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \\ &\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \left. 3 \right| \cdot \cos \alpha \\ &\sin \alpha = 3 \cdot \cos \alpha \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( {3 \cdot \cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &9 \cdot {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &10{\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \\ &\cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \\ &\sin \alpha = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\end{aligned}

sin⁡2α−3cos⁡2α2sin⁡2α+cos⁡2α=(31010)2−3⋅1102(31010)2+110\frac{{{{\sin }^2}\alpha - 3{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} - 3 \cdot \frac{1}{{10}}}}{{2{{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} + \frac{1}{{10}}}} =9⋅10100−31029⋅10100+110=910−3101810+110=6101910=619= \frac{{\frac{{9 \cdot 10}}{{100}} - \frac{3}{{10}}}}{{2\frac{{9 \cdot 10}}{{100}} + \frac{1}{{10}}}} = \frac{{\frac{9}{{10}} - \frac{3}{{10}}}}{{\frac{{18}}{{10}} + \frac{1}{{10}}}} = \frac{{\frac{6}{{10}}}}{{\frac{{19}}{{10}}}} = \frac{6}{{19}}

Пр.6

3sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+2cos⁡α=1∣⋅(sin⁡α+2cos⁡α)3sin⁡α−cos⁡α=sin⁡α+2cos⁡α3sin⁡α−sin⁡α=2cos⁡α+cos⁡α2sin⁡α=3cos⁡αsin⁡α=32cos⁡α\begin{aligned}&\left. {\frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = 1} \right| \cdot \left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right) \\ &3\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + 2\cos \alpha \\ &3\sin \alpha - \sin \alpha = 2\cos \alpha + \cos \alpha \\ &2\sin \alpha = 3\cos \alpha \\ &\sin \alpha = \frac{3}{2}\cos \alpha\end{aligned}

sin⁡2α+cos⁡2α=1(32cos⁡α)2+cos⁡2α=194cos⁡2α+cos⁡2α=1cos⁡2α(94+1)=1cos⁡2α=419cos⁡α=21313\begin{aligned}&{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( {\frac{3}{2}\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &\frac{9}{4}{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha \left( {\frac{9}{4} + 1} \right) = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha = \frac{4}{{19}} \\ &\cos \alpha = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\end{aligned}

sin⁡α=32⋅21313=31313tgα=sin⁡αcos⁡α=3131321313=32\begin{aligned}&\sin \alpha = \frac{3}{2} \cdot \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}} \\ &tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}}}{{\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}}} = \frac{3}{2}\end{aligned}

Кад је дат tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, а треба израчунати израз у ком сваки члан има sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha у истом укупном степену, не морате рачунати синус и косинус. Бројилац и именилац поделите са cos⁡α\cos\alpha, или са cos⁡2α\cos^2\alpha кад су чланови другог степена, и израз постаје израз по тангенсу: 2sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−3cos⁡α=2tg⁡α+1tg⁡α−3\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - 3\cos\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha + 1}{\operatorname{tg}\alpha - 3}.

Обрнуто, из једначине као sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α=3\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = 3 помножите имениоцем, раздвојите синусе и косинусе и поделите са cos⁡α\cos\alpha: добијате tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2. Дељење је дозвољено јер је за оштар угао cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0. Дужи пут, преко sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha из основног идентитета, даје исти резултат, али са више рачуна и корена.

0,511,521234567tg αF₁ : F₂(tg α + μ)/(tg α − μ)
0,5
0,1
Угао нагиба α
26,6°
Преко sin и cos
1,5
Преко tg
1,5
Количник F1F2\frac{F_1}{F_2} зависи само од tg⁡α\operatorname{tg}\alpha и μ\mu, па рачун преко синуса и косинуса и рачун преко тангенса дају исто. Што је падина стрмија, количник је ближи 1; кад се tg⁡α\operatorname{tg}\alpha приближи μ\mu (испрекидана права), санке једва клизе и количник нагло расте.

Физичари и инжењери изразе са синусом и косинусом истог угла често своде на тангенс, јер се нагиб пута, рампе или падине задаје управо тангенсом, као проценат успона.

Санке на падини

Дете вуче санке уз падину нагиба tg⁡α=0,5\operatorname{tg}\alpha = 0{,}5, а коефицијент трења санки о снег је μ=0,1\mu = 0{,}1. Сила потребна да се санке равномерно вуку уз падину је F1=mg(sin⁡α+μcos⁡α)F_1 = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha), а сила која их убрзава док се спуштају низ падину је F2=mg(sin⁡α−μcos⁡α)F_2 = mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). Колико пута је F1F_1 већа од F2F_2?

Решење

  1. Тражимо F1F2=sin⁡α+μcos⁡αsin⁡α−μcos⁡α\frac{F_1}{F_2} = \frac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}; производ mgmg се скраћује.
  2. Сваки члан има sin⁡α\sin\alpha или cos⁡α\cos\alpha на први степен, па бројилац и именилац делимо са cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0: F1F2=tg⁡α+μtg⁡α−μ\frac{F_1}{F_2} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{\operatorname{tg}\alpha - \mu}.
  3. Уврстимо вредности: 0,5+0,10,5−0,1=0,60,4=1,5\frac{0{,}5 + 0{,}1}{0{,}5 - 0{,}1} = \frac{0{,}6}{0{,}4} = 1{,}5.
  4. Провера дужим путем: из tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2} је cos⁡α=25\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} и sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, па после множења са 5\sqrt{5} количник гласи 1+0,21−0,2=1,5\frac{1 + 0{,}2}{1 - 0{,}2} = 1{,}5.

Одговор: Сила потребна за вучу уз падину 1,5 пута је већа од силе која санке убрзава низ падину.

Задатак за вежбу

Израчунајте вредност израза sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α3cos⁡2α−sin⁡2α\frac{\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} ако је tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}.

Прикажи решење

Поделимо бројилац и именилац са cos⁡2α\cos^2\alpha: tg⁡2α+2tg⁡α3−tg⁡2α=14+13−14=54:114=511\frac{\operatorname{tg}^2\alpha + 2\operatorname{tg}\alpha}{3 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{4} + 1}{3 - \frac{1}{4}} = \frac{5}{4} : \frac{11}{4} = \frac{5}{11}.