Функције – функционална једначина и пример 4

Објашњење функционалне једначине кроз пример.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4 Одредити $f\left( x \right) =$ ако је $f\left( {3x - 1} \right) = 2{x^2} - 3x + 5$ .

Пр.4 Замена:

$\begin{aligned}&3x - 1 = t \\ &3x = t + 1 \\ &x = \frac{{t + 1}}{3} \\ &f\left( t \right) = 2{\left( {\frac{{t + 1}}{3}} \right)^2} - 3\left( {\frac{{t + 1}}{3}} \right) + 5 \\ &f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} + 4t + 2}}{9} - t - 1 + 5 \\ &f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} + 4t + 2 - 9t - 9 + 45}}{9} \\ &f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} + 5t + 38}}{9} \\ &f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 38}}{9}\end{aligned}$

Функционална једначина задаје функцију посредно, као $f(2x + 3) = 4x - 1$ , а тражи се $f(x)$ . Решава се сменом: израз у загради означите новом променљивом, $2x + 3 = t$ , изразите стару променљиву, $x = \frac{t - 3}{2}$ , и убаците је свуда на десној страни. Добијате $f(t) = 2(t - 3) - 1 = 2t - 7$ , а пошто име променљиве није битно, пишете $f(x) = 2x - 7$ . Кад је десна страна полином вишег степена, поступак је исти, само је сређивање дуже.

Резултат проверите једним бројем: за $x = 0$ из услова је $f(3) = -1$ , а и нађена формула даје $2 \cdot 3 - 7 = -1$ . Честа грешка је да се смена убаци у један члан, а у други не, или да се изгуби знак кад се минус множи разломком.

x0,75

t = 2x + 1: 2,5
4x² + 2x − 3: 0,75
f(t) = t² − t − 3: 0,75

Зелена крива је

f(2x + 1) = 4x^2 + 2x - 3

, а плава

f(x) = x^2 - x - 3

из задатка за вежбу. Вредност зелене криве у тачки

x

једнака је вредности плаве у тачки

t = 2x + 1

, па су две тачке увек на истој висини. Зато смена

t = 2x + 1

даје

f

.

Иста смена користи се кад се формула прерачунава у друге јединице: тарифа задата по сатима преводи се у формулу по минутима, а температура из степени Целзијуса у степене Фаренхајта.

Бицикл по минуту

Изнајмљивање бицикла кошта 150 динара по сату и 100 динара за преузимање, па вожња од $x$ сати кошта $150x + 100$ динара. Апликација мери време у минутима, па јој треба формула $f(m)$ за цену вожње од $m$ минута. Пошто $x$ сати има $60x$ минута, важи $f(60x) = 150x + 100$ . Одредите $f(m)$ и цену вожње од 84 минута.

Решење

Смена: $60x = t$ , па је $x = \frac{t}{60}$ .
Убацимо у десну страну: $f(t) = 150 \cdot \frac{t}{60} + 100 = 2{,}5t + 100$ , тј. $f(m) = 2{,}5m + 100$ .
За 84 минута: $f(84) = 2{,}5 \cdot 84 + 100 = 210 + 100 = 310$ .
Провера по сатима: 84 минута је $1{,}4$ сата, а $150 \cdot 1{,}4 + 100 = 310$ .

Одговор: Цена је $f(m) = 2{,}5m + 100$ динара, па вожња од 84 минута кошта 310 динара.

Задатак за вежбу

Одредите $f(x)$ ако је $f(2x + 1) = 4x^2 + 2x - 3$ .

Прикажи решење

Смена $2x + 1 = t$ даје $x = \frac{t - 1}{2}$ , па је $f(t) = (t - 1)^2 + (t - 1) - 3 = t^2 - t - 3$ , тј. $f(x) = x^2 - x - 3$ . Провера: за $x = 0$ је $f(1) = -3$ , а $1 - 1 - 3 = -3$ .