Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Вектори – примери 2

Вектори, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4   Дат је паралелограм ABCDABCD и произвољна тачка MM ван паралелограма. Ако је тачка OO пресек дијагонала паралелограма, докажи да је: MO→=14(MA→+MB→+MC→+MD→)\overrightarrow {MO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right).

Пр. 5  Дат је правилни шестоугао ABCDEFABCDEF. Покажи једнакост AB→+AC→+AD→+AE→+AF→=3AD→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD}.

Пр.6   Тачка CC и DD деле дуж ADAD на три једнака одсечка. Тачка OO је произвољна тачка изван праве ABAB. OA→=a→\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a и OB→=b→\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b, изразити векторе OC→\overrightarrow {OC} и OD→\overrightarrow {OD} помоћу вектора a→\overrightarrow a и b→\overrightarrow b.

Пр.4

60

MO→=14(MA→+MB→+MC→+MD→)MO→=MA→+AO→MO→=MB→+BO→MO→=MC→+CO→MO→=MD→+DO→∣+4MO→=MA→+AO→+MB→+BO→+MC→+CO→+MD→+DO→AO→+CO→=0→BO→+DO→=0→4MO→=MA→+MB→+MC→+MD→∣÷4MO→=14(MA→+MB→+MC→+MD→)\begin{aligned}&\overrightarrow {MO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) \\ &\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AO} \\ &\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BO} \\ &\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CO} \\ &\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DO}\end{aligned} \right| + \\ &4\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DO} \\ &\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CO} = \overrightarrow 0 \\ &\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow 0 \\ &\left. {4\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| \div 4 \\ &\overrightarrow {MO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\end{aligned}

Пр.5

61

AB→+AC→+AD→+AE→+AF→=3AD→AD→=AB→+BC→+CD→AD→=AF→+FE→+ED→AD→=AD→∣+3AD→=AB→+BC→+CD→+AF→+FE→+ED→+AD→BC→+CD→=BD→=AE→FE→+ED→=FD→=AC→3AD→=AB→+AC→+AD→+AE→+AF→\begin{aligned}&\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD} \\ &\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \\ &\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} \\ &\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD}\end{aligned} \right| + \\ &3\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {AD} \\ &\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} \\ &\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {FD} = \overrightarrow {AC} \\ &3\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF}\end{aligned}

Пр.6

62

OC→=OA→+AC→=a→+13AB→=a→+13(AO→+OB→)==a→+13(−OA→+b→)=a→+13(−a→+b→)=a→−13a→+13b→=23a→+13b→\begin{aligned}&\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right) = \\ &= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {OA} + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b\end{aligned}

OD→=OB→+BD→=b→+13BA→=b→−13AB→=b→−13(−a→+b→)==b→+13a→−13b→=23b→+13a→\begin{aligned}&\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} = \overrightarrow b - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b - \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \\ &= \overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow b = \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow a\end{aligned}

Кад тачка дели дуж у датом односу, вектор до ње изражавате преко вектора крајева. Ако је OA→=a⃗\overrightarrow{OA} = \vec a и OB→=b⃗\overrightarrow{OB} = \vec b, онда је AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a, а за тачку CC дужи ABAB за коју је AC=13ABAC = \frac{1}{3}AB важи OC→=a⃗+13(b⃗−a⃗)=23a⃗+13b⃗\overrightarrow{OC} = \vec a + \frac{1}{3}(\vec b - \vec a) = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b. Уопште, ако је AP→=tAB→\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}, онда је OP→=(1−t)a⃗+tb⃗\overrightarrow{OP} = (1 - t)\vec a + t\vec b: ближем крају припада већи коефицијент.

У паралелограму ABCDABCD са пресеком дијагонала OO вектори OA→\overrightarrow{OA} и OC→\overrightarrow{OC} су супротни, као и OB→\overrightarrow{OB} и OD→\overrightarrow{OD}, па за сваку тачку MM важи MO→=14(MA→+MB→+MC→+MD→)\overrightarrow{MO} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}). Задатак са правилним шестоуглом решава се истим поступком: AD→\overrightarrow{AD} запишите на три начина, преко BB и CC, преко FF и EE и директно, па једнакости саберите. Честа грешка је AB→=a⃗−b⃗\overrightarrow{AB} = \vec a - \vec b.

abOABP
1 s
Пређени део пута t
0,333
Прва координата лика
320
Друга координата лика
350
Положај лика је OP→=(1−t)a⃗+tb⃗\overrightarrow{OP} = (1 - t)\vec a + t\vec b, где је tt пређени део пута. После 1 s је t=13t = \frac{1}{3} и лик је у (320,350)(320, 350), као у примеру; квадратић мреже је 100 пиксела. Померите и тачке AA и BB.

Програми за анимацију и видео игре овако померају објекте: положај између две тачке рачуна се као (1−t)a⃗+tb⃗(1 - t)\vec a + t\vec b, где tt расте од 0 до 1. Исто правило користе дизајнери и инжењери кад деле дуж на једнаке делове.

Лик у видео игри

У видео игри лик се креће праволинијски и равномерно од тачке A(120,450)A(120, 450) до тачке B(720,150)B(720, 150) на екрану, а стиже за 3 s. Координате су у пикселима. Где је лик после 1 s, а где после 2 s?

Решење

  1. Нека је OO почетак координата, a⃗=OA→\vec a = \overrightarrow{OA} и b⃗=OB→\vec b = \overrightarrow{OB}. После 1 s лик је у тачки CC на трећини пута, а после 2 s у тачки DD на две трећине.
  2. OC→=a⃗+13AB→=a⃗+13(b⃗−a⃗)=23a⃗+13b⃗\overrightarrow{OC} = \vec a + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \vec a + \frac{1}{3}(\vec b - \vec a) = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b.
  3. Нека су i⃗\vec i и j⃗\vec j помераји од једног пиксела удесно и нагоре. Тада је a⃗=120i⃗+450j⃗\vec a = 120\vec i + 450\vec j и b⃗=720i⃗+150j⃗\vec b = 720\vec i + 150\vec j, па је OC→=(80+240)i⃗+(300+50)j⃗=320i⃗+350j⃗\overrightarrow{OC} = (80 + 240)\vec i + (300 + 50)\vec j = 320\vec i + 350\vec j, тј. C(320,350)C(320, 350).
  4. Слично је OD→=13a⃗+23b⃗=(40+480)i⃗+(150+100)j⃗\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b = (40 + 480)\vec i + (150 + 100)\vec j, па је D(520,250)D(520, 250).

Одговор: После 1 s лик је у тачки (320,350)(320, 350), а после 2 s у тачки (520,250)(520, 250).

Задатак за вежбу

Дуж ABAB подељена је на четири једнака дела. Ако је OA→=a⃗\overrightarrow{OA} = \vec a и OB→=b⃗\overrightarrow{OB} = \vec b, изразите вектор OK→\overrightarrow{OK} до деоне тачке KK која је најближа тачки BB.

Прикажи решење

AK=34ABAK = \frac{3}{4}AB, па је OK→=a⃗+34(b⃗−a⃗)=14a⃗+34b⃗\overrightarrow{OK} = \vec a + \frac{3}{4}(\vec b - \vec a) = \frac{1}{4}\vec a + \frac{3}{4}\vec b.