Геометрија – круг 1

Круг. Дефиниција. Периферијски и централни угао. Тетивни и тангентни четвороугао. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Израчунати периферијски угао над кружним луком који износи

$\frac{1}{{12}}$ .

Пр.2 Израчунати угао између тангенте и тетиве, ако тетива дели круг

3:7.

Пр.1

Нацртаћемо круг $k\left( {O,r} \right)$ и одредимо тачкама $A$ и $B$ - $\frac{1}{{12}}$ круга. Означимо $\angle AOB$ са $\alpha.$ $\alpha$ jе цнтрални угао над луком $AB$ , $\beta$ jе периферијски угао над истим луком.

Онда

$\begin{aligned}&\alpha = \frac{1}{{12}} \cdot {360^ \circ } = {30^ \circ } \\ &\beta = \frac{\alpha }{2} = {15^ \circ }\end{aligned}$

Пр.2

Ако тетива $AB$ дели круг на два кружна лука у односу 3:7, тада се тако и односе централни углови $\alpha$ и $\beta$ над овим луковима.

$\alpha$ : $\beta$ =3:7 из ове пропорције

$\begin{aligned}&\alpha = 3k \\ &\beta = 7k \\ &\alpha + \beta = {360^ \circ } \\ &3k + 7k = {360^ \circ } \\ &10k = {360^ \circ } \\ &k = 36\end{aligned}$

$\alpha = {108^ \circ }, \beta = {252^ \circ }$

Угао између тангенте и тетиве истог круга jeднак jе перифериjском углу над том тетивом.

$\begin{aligned}&\angle ATB = {\alpha _1} \\ &{\alpha _1} = \frac{\alpha }{2} \\ &{\alpha _1} = {54^ \circ }\end{aligned}$

Централни угао има теме у центру кружнице, а периферијски угао теме на самој кружници. Кад им краци пролазе кроз крајеве истог лука $AB$ , периферијски угао је половина централног: $\beta = \frac{\alpha}{2}$ . Зато сви периферијски углови над истим луком имају исту меру.

Кад је лук задат као део кружнице, централни угао је исти део од $360^\circ$ : лук од $\frac{1}{6}$ кружнице даје $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 30^\circ$ . Ако тетива дели кружницу у односу $m : n$ , у том односу су и централни углови, а збир им је $360^\circ$ . Угао између тангенте и тетиве једнак је периферијском углу над том тетивом. Честа грешка је да се заборави дељење са 2: периферијски углови над два лука исте тетиве дају $180^\circ$ , а не $360^\circ$ .

Централни угао α135°

Положај тачке C100°

Централни угао α: 135°
Периферијски угао β: 67,5°
Угао тангенте и тетиве: 67,5°

Док померате тачку

C

, периферијски угао

\beta

се не мења и увек је половина централног угла

\alpha

; црвени угао између тангенте и тетиве такође је

\beta

. Почетни лук од

135^\circ

је лук између клупа из примера.

Морнари одређују положај брода мерећи угао под којим виде два светионика: сва места из којих се они виде под истим углом леже на луку једне кружнице. Исто важи у фудбалу: са свих места на луку кружнице кроз две стативе гол се види под истим углом.

Клупе око фонтане

Око округле фонтане у парку постављено је 8 клупа на једнаким размацима, па деле ивицу фонтане на 8 једнаких лукова. Марија седи на клупи $C$ и посматра клупе $A$ и $B$ . Лук $AB$ на коме Марија не седи обухвата три од тих осам лукова. Под којим углом Марија види дуж $AB$ ?

Решење

Лук $AB$ је $\frac{3}{8}$ кружнице, па је централни угао над њим $\alpha = \frac{3}{8} \cdot 360^\circ = 135^\circ$ .
Марија је на кружници, па је $\measuredangle ACB$ периферијски угао над истим луком: $\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{135^\circ}{2} = 67{,}5^\circ$ .
Пошто је $0{,}5^\circ = 30'$ , то је $\beta = 67^\circ 30'$ .
Исти угао добила би и са било које друге клупе на свом луку, јер сви периферијски углови над луком $AB$ имају исту меру.

Одговор: Марија види дуж $AB$ под углом од $67^\circ 30'$ .

Задатак за вежбу

Тетива $AB$ дели кружницу на два лука у односу 2 : 7. Колике углове тетива $AB$ образује са тангентом у тачки $A$ ?

Прикажи решење

Централни углови су $2k$ и $7k$ , па из $9k = 360^\circ$ следи $k = 40^\circ$ : лукови имају $80^\circ$ и $280^\circ$ . Углови тангенте и тетиве су половине: $40^\circ$ и $140^\circ$ .