Скупови – теорија

Видео лекција која садржи објашњење појмова и операција везаних за скупове.

Скуп је одређен својим елементима: $x \in A$ значи да $x$ припада скупу $A$ . Скупови $A$ и $B$ су једнаки ако имају исте елементе, $A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ , а $A \subseteq B$ ако је сваки елемент скупа $A$ и у $B$ . Празан скуп $\emptyset$ нема ниједан елемент и подскуп је сваког скупа. Операције се дефинишу логичким везницима: $A \cup B = \{x \mid x \in A \vee x \in B\}$ , $A \cap B = \{x \mid x \in A \wedge x \in B\}$ и $A \setminus B = \{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}$ . Комплемент скупа $A$ чине елементи универзалног скупа који нису у $A$ .

Зато се свака скуповна једнакост своди на исказну формулу. При пребројавању важи $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ . Честа грешка је мешање знакова $\in$ и $\subseteq$ : $2 \in \{1, 2\}$ , али $\{2\} \subseteq \{1, 2\}$ .

Елемената у осенченом делу: 7
|A| + |B| − |A ∩ B|: 7

Осенчени део показује резултат изабране операције. Ива и Лена су у оба скупа, па се у унији броје само једном:

5 + 4 - 2 = 7

. Комплемент уније чине Тара и Урош.

Кад у претрази огласа за станове изаберете град и највећу квадратуру, добијате пресек два скупа огласа, а кад искључите огласе без лифта, разлику; исто тако раде упити у базама података.

Радионице на летњем кампу

На летњем кампу у Крагујевцу једна група има 9 ученика. За хор су се пријавили Ана, Вук, Ива, Лена и Немања (скуп $A$ ), а за драмску радионицу Ива, Лена, Огњен и Сара (скуп $B$ ). Тара и Урош се нису пријавили нигде. Одредите $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ и комплемент уније, па проверите формулу за број елемената уније.

Решење

Унију чине ученици пријављени бар на једну активност: $A \cup B$ = {Ана, Вук, Ива, Лена, Немања, Огњен, Сара}, то је 7 ученика.
Пресек чине ученици пријављени на обе активности: $A \cap B$ = {Ива, Лена}.
Разлике су $A \setminus B$ = {Ана, Вук, Немања}, само хор, и $B \setminus A$ = {Огњен, Сара}, само драмска радионица.
Комплемент уније у групи је {Тара, Урош}. Провера: $|A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7 = |A \cup B|$ .

Одговор: На бар једну активност пријављено је 7 ученика, на обе 2, само за хор 3, само за драмску радионицу 2, а ни на једну 2 ученика.

Задатак за вежбу

Нека је $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 12,\ 2 \mid x\}$ и $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 12,\ 3 \mid x\}$ . Одредите $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ и $B \setminus A$ .

Прикажи решење

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ и $B = \{3, 6, 9, 12\}$ , па је $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$ , $A \cap B = \{6, 12\}$ , $A \setminus B = \{2, 4, 8, 10\}$ и $B \setminus A = \{3, 9\}$ .