Дељивост у скупу реалних бројева. Решени задаци, сложенији примери.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.4) Докажи да је збир било ког двоцифреног природног броја
и броја написаног истим цифрама, али обрнутим редом,
дељив са 11.
Пр.5) Ако је збир два цела броја непаран број, тада је њихов
производ паран број.
Пр.6) Ако је $p$ прост број, онда су ${p^3} + 7$ и ${p^2} + 11$ сложени.
Пр.4) Представимо први броj у облику $\overline {xy} = 10x + y$, а други $\overline {yx} = 10y + x$
Даље
\[\begin{gathered}
\left. {11} \right|\overline {xy} + \overline {yx} \hfill \\
\left. {11} \right|10x + y + 10y + x \hfill \\
\left. {11} \right|11x + 11y \hfill \\
\left. {11} \right|11\left( {x + y} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
Добили смо \[\overline {xy} + \overline {yx} = 11\left( {x + y} \right)\]
Пр.5) Нека су $x,y \in {\rm Z}$, паран броj можемо записати као $2n$, непаран броj можемо записати као $2n + 1$. Онда услов можемо записати као \[x + y = 2n + 1 \Rightarrow xy = 2n\]
\[x = 2n + 1 - y \Rightarrow x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y\]
даље ћемо испитивати таj производ у зависности од $y$.
У првом случаjу $y$-паран броj, онда
$x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y$ - паран броj ($2n + 1$ - непаран минус $y$ - паран даje непаран, а непаран броj пута паран броj jе паран).
Кад jе $y$ - непаран броj, производ jе
$x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y$ такође паран.
Пр.6) Нека je р=2 онда \[{p^3} + 7 = {2^3} + 7 = 8 + 7 = 15\]
то jе сложен броj.
\[{p^2} + 11 = {2^2} + 11 = 4 + 11 = 15\] истo jе сложан броj.
Нека je р-непаран броj
\[\begin{gathered}
{p^3} + 7 = {\left( непаран \right)^3} + непаран = \hfill \\
= непаран + непаран = паран \Rightarrow сложан \hfill \\
{p^2} + 11 = {\left( непаран \right)^2} + непаран = \hfill \\
= непаран + непаран = паран \Rightarrow сложан \hfill \\
\end{gathered} \]