Први разред средње школе

Таутологије – теорија и пример 1

Таутологије – пример 2

Таутологије – пример 3

Скупови – теорија

Скупови – пример 1

Скупови – пример 2

Функције – теорија и пример 1

Функције – пример 2

Функције – пример 3

Реални бројеви 1

Реални бројеви 2

Реални бројеви 3

Реални бројеви 4

Децимални запис

Геометрија – аксиоме

Геометрија – подударност дужи и углова

Геометрија – израчунавање углова

Геометрија – троугао

Геометрија – израчунавање углова троугла 1

Геометрија – израчунавање углова троугла 2

Геометрија – четвороуглови 1

Геометрија – четвороуглови 2

Геометрија – подударност троуглова 1

Геометрија – подударност троуглова 2

Геометрија – подударност троуглова 3

Геометрија – круг 1

Геометрија – круг 2

Рационални алгебарски изрази 1

Рационални алгебарски изрази 2

Рационални алгебарски изрази 3

Рационални алгебарски изрази 4

Тригонометрија – правоугли троугао

Тригонометријске вредности карактеристичних углова

Основне релације између тригонометријских функција

Тригонометријске функције оштрог угла – примери 1

Тригонометријске функције оштрог угла – примери 2

Тригонометријске функције оштрог угла – примери 3

Тригонометријски идентитети – примери

Вектори

Вектори – примери 1

Вектори – примери 2

Вектори – примери 3

Вектори – примери 4

Функције – функционална једначина и пример 4

Функције – пример 5

Апсолутна вредност – теорија и примери 1 и 2

Апсолутна вредност – пример 3

Пропорционалност – теорија и примери 1

Пропорционалност – пример 2

Пропорционалност – пример 3

Скупови – пример 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Реши скуповну једнакост:

Пр.2 $A\backslash \left( {B \cup C} \right) = \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)$

Скуповне једнакостi решавамо тако што их преводимо у исказне формуле а затим показуjемо да су те формуле таутологије. Према дефеницији једнакости скупова, два скупа су једнакa ако и само ако за свако x ако x припада jедном скупу то је еквивалентно да x припада и другом скупу

$\left( {\forall х } \right)\left( {х \in \left( {А\backslash \left( {B \cup C} \right)} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {\left( {А\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)} \right)} \right)$

$\left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \wedge x \notin \left( {B \cup C} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {А\backslash B} \right) \wedge x \in \left( {A\backslash C} \right)} \right)$

$\left( {\forall х} \right)\left( {х \in A \wedge \neg \left( {x \in \left( {B \cup C} \right)} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge \left( {x \notin C} \right)} \right)} \right)$

$\begin{gathered} \left( {\forall х} \right)\left( {х \in A \wedge \neg \left( {x \in B \vee x \in C} \right)} \right) \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\left( {x \in A \wedge \neg \left( {x \in B} \right)} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge \neg \left( {x \in C} \right)} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ако са p означимо $x \in A$ ,са q - $x \in B$ и са r - $x \in C$ , на оваj начин нашу скуповну једнакост преводимо у исказну форму, имамо

$\left( {p \wedge \neg \left( {q \vee r} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {p \wedge \neg q} \right) \wedge \left( {p \wedge \neg r} \right)} \right)$

Показуjемо да добиjена формула таутологиjа табличнoм методом.

Са A означимо $p \wedge \neg q$ , са B означимо $p \wedge \neg r$ , са С $p \wedge \neg \left( {q \vee r} \right)$ и са D $\left( {p \wedge \neg q} \right) \wedge \left( {p \wedge \neg r} \right)$

$p$	$q$	$r$	$¬q$	$¬r$	$q\vee r$	$\neg\left( {q \vee r} \right)$	$C$	$A$	$B$	$D$	$C \Leftrightarrow D$
$\top$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$
$\top$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\top$
$\top$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$
$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\top$	$\top$	$\top$	$\top$
$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$
$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$
$\bot$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$
$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$	$\top$	$\bot$	$\top$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\bot$	$\top$

Наша формула jе тачна за све вредности исказних слова, односно она jе таутологиjа. Ми смо показали да jе исказна формула таутологиja, односно наша скуповна jеднакост jе тачна.