Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Геометрија – израчунавање углова

Степен. Сабирање, одузимање углова. Израчунавање суплементног и комплементог угла.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Одреди угао који је од свог комплементарног угла већи

           за 3∘3^\circ.

Пр.2   Одреди угао који је од свог суплементарног угла већи

           7 пута.

Пр.3   Одреди угао који је од свог суплементарног угла мањи тачно

           онолико колико је већи од свог комлементарног угла.

Пр.4   Дате су две паралелне праве пресечене трећом.

          Одреди све углове на трансверзали ако је разлика два спољашња

          супротна угла 1251\frac{2}{5} правог угла.

Пр.1 Два угла α\alpha и β\beta су комплементни ако jе нихов збир 90∘.90^\circ. Онда 

α+β=90∘α=β+3‾\begin{aligned}&\alpha + \beta = {90^ \circ } \\ &\underline {\alpha = \beta + 3}\end{aligned}

Потребно је решити систем ове две jедначине

β+3+β=90∘\beta + 3 + \beta = {90^ \circ }

2β=90∘−3∘2\beta = {90^ \circ } - {3^ \circ }

2β=87∘2\beta = {87^ \circ }

β=87÷2\beta = 87 \div 2

β=43∘30′\beta = {43^ \circ }30'

α=46∘30′\alpha = {46^ \circ }30'

Пр.2 Два угла α\alpha и β\beta су суплементни ако jе нихов збир 180∘.180^\circ. Онда 

α+β=180∘α=7β‾\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\underline {\alpha = 7\beta }\end{aligned}Потребно je решити систем ове две jедначине

7β+3=180∘7\beta + 3 = {180^ \circ }

8β=180∘8\beta = {180^ \circ }

β=180÷8\beta = 180 \div 8

β=22∘30′\beta = {22^ \circ }30'

α=7β\alpha = 7\beta

α=157∘30′\alpha = {157^ \circ }30'

Пр.3 Два угла α\alpha и β\beta су суплементни ако jе нихов збир 180∘.180^\circ. Онда

α+β=180∘\alpha + \beta = {180^ \circ }

Знамо да jе α<β\alpha < \beta онда β=α+x\beta = \alpha + x

α+β=180∘β=α+x‾\begin{aligned}&\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\underline {\beta = \alpha + x}\end{aligned}Потребно је решити систем ове две jедначине

α+α+x=180∘2α+x=180∘x=180∘−2α\begin{aligned}&\alpha + \alpha + x = {180^ \circ } \\ &2\alpha + x = {180^ \circ } \\ &\boxed{x = {{180}^ \circ } - 2\alpha }\end{aligned}

Два угла α\alpha и β1\beta_1 су комплементни ако jе нихов збир 90∘.90^\circ. Онда α+β1=90∘\alpha + \beta_1 = {90^ \circ }

Знамо да jе α>β1\alpha > \beta_1 онда β1=α−x\beta_1 = \alpha - x

α+β1=90∘β1=α−x‾\begin{aligned}&\alpha + \beta_1 = {90^ \circ } \\ &\underline {\beta_1 = \alpha - x}\end{aligned} Потребно је решити систем ове две jедначине

α+α−x=90∘2α−x=90∘x=2α−90∘\begin{aligned}&\alpha + \alpha - x = {90^ \circ } \\ &2\alpha - x = {90^ \circ } \\ &\boxed{x = 2\alpha - {{90}^ \circ }}\end{aligned}

180∘−2α=2α−90∘{180^ \circ } - 2\alpha = 2\alpha - {90^ \circ }

4α=180∘+90∘4\alpha = {180^ \circ } + {90^ \circ }

4α=270∘4\alpha = {270^ \circ }

α=67∘30′\alpha = {67^ \circ }30'

Пр.4

44

Два угла α\alpha и δ1\delta_1 су два спољашња супротна угла, онда α+δ1=180∘\alpha + \delta_1 = {180^ \circ }

α+δ1=180∘α−δ1=125⋅90‾\begin{aligned}&\alpha + \delta_1 = {180^ \circ } \\ &\underline {\alpha - \delta_1 = 1\frac{2}{5} \cdot 90}\end{aligned}

2α=180∘+125⋅90∘2α=180∘+75⋅90∘2α=180∘+126∘2α=306∘α=153∘\begin{aligned}&2\alpha = {180^ \circ } + 1\frac{2}{5} \cdot {90^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } + \frac{7}{5} \cdot {90^ \circ } \\ &2\alpha = {180^ \circ } + {126^ \circ } \\ &2\alpha = {306^ \circ } \\ &\alpha = {153^ \circ }\end{aligned}

Углови α\alpha и γ\gamma и α1\alpha_1 и γ1\gamma_1су парови унакрсних, међусобно једнаких углова. Углови α\alpha и α1\alpha_1  су једнаки углови са исте стране трансверзале. Овакви парови углова називају се сагласни углови. Онда

α=γ1=α1=γ1=153∘.\alpha = \gamma_1 = \alpha_1 = \gamma_1 = {153^ \circ. }

153∘+δ1=180∘δ1=180∘−153∘δ1=27\begin{aligned}&{153^ \circ } + \delta_1 = {180^ \circ } \\ &\delta_1 = {180^ \circ } - {153^ \circ } \\ &\delta_1 = 27\end{aligned}

δ1=β1=δ=β=27∘\delta_1 = \beta_1 = \delta = \beta = {27^ \circ }

Углови се мере у степенима и минутима: 1∘=60′1^\circ = 60' и 1′=60′′1' = 60''. При одузимању позајмите један степен: 180∘−34∘20′=179∘60′−34∘20′=145∘40′180^\circ - 34^\circ 20' = 179^\circ 60' - 34^\circ 20' = 145^\circ 40'. При сабирању 60 минута прелази у степен: 72∘50′+34∘20′=106∘70′=107∘10′72^\circ 50' + 34^\circ 20' = 106^\circ 70' = 107^\circ 10'. Текстуални задаци своде се на систем две једначине: из „угао је за 3∘3^\circ већи од свог комплемента“ следи α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ и α=β+3∘\alpha = \beta + 3^\circ, па је α=46∘30′\alpha = 46^\circ 30'.

Кад трансверзала сече две паралелне праве, сагласни и наизменични углови су једнаки, а супротни су суплементни. Зато се међу осам углова појављују само две вредности, чији је збир 180∘180^\circ. Решење увек проверите у почетном услову. Честа грешка при дељењу: 87∘:2=43,5∘=43∘30′87^\circ : 2 = 43{,}5^\circ = 43^\circ 30', а не 43∘50′43^\circ 50'.

α = 120°β = 60°α₁ = 120°β₁ = 60°abt
120°
α
120°
α₁
120°
α + β
180°
Сагласни углови α\alpha и α1\alpha_1 увек су једнаки, јер су праве aa и bb паралелне, а напоредни α\alpha и β\beta дају 180∘180^\circ. Зато је довољно знати један угао да бисте знали свих осам.

Геометри, пројектанти путева и столари рачунају углове у степенима и минутима; где права улица сече паралелне улице, на свим раскрсницама понављају се исти углови.

Булевар и две улице

Прав булевар у Новом Саду сече две паралелне улице. На првој раскрсници један од углова између булевара и улице је за 34∘20′34^\circ 20' већи од свог напоредног угла. Одредите свих осам углова на обе раскрснице.

Решење

  1. Напоредни углови су суплементни: α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ, а по услову је α=β+34∘20′\alpha = \beta + 34^\circ 20'.
  2. Заменом добијамо 2β+34∘20′=180∘2\beta + 34^\circ 20' = 180^\circ, па је 2β=145∘40′2\beta = 145^\circ 40' и β=72∘50′\beta = 72^\circ 50'.
  3. Тада је α=72∘50′+34∘20′=107∘10′\alpha = 72^\circ 50' + 34^\circ 20' = 107^\circ 10'. Провера: 107∘10′+72∘50′=180∘107^\circ 10' + 72^\circ 50' = 180^\circ.
  4. Унакрсни углови су једнаки, а на другој раскрсници сагласни углови имају исте вредности као на првој.

Одговор: Четири угла имају по 107∘10′107^\circ 10', а четири по 72∘50′72^\circ 50': на свакој раскрсници по два од сваке врсте.

Задатак за вежбу

Одредите угао који је за 15∘40′15^\circ 40' мањи од свог суплемента.

Прикажи решење

Из α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ и β=α+15∘40′\beta = \alpha + 15^\circ 40' следи 2α=164∘20′2\alpha = 164^\circ 20', па је α=82∘10′\alpha = 82^\circ 10', а суплемент β=97∘50′\beta = 97^\circ 50'.