Тригонометријске функције оштрог угла – примери 2

Тригонометријске функције оштрог угла правоуглог троугла. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3 Одреди вредност израза:

$\frac{{tg60^\circ - tg30^\circ }}{{\sin 30^\circ - \cos 60^\circ }} =$

Пр.4 Израчунати остале тригонометријске функције оштрог угла $\alpha$

ако је: $\sin \alpha \frac{3}{5}$ $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ , и ако је

$tg\alpha = \frac{7}{{24}}$ $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$

Пр.3

$\frac{{tg{{60}^ \circ } - tg{{30}^ \circ }}}{{sin{{30}^ \circ } - cos{{60}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 - \sqrt 3 }}{3}}}{1} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

Пр.4

$\sin \alpha \frac{3}{5}$ $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ ,

$\begin{aligned}&{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &\frac{9}{{25}} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} \\ &{\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}} \\ &\cos \alpha = \frac{4}{5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4} \\ &ctg\alpha = \frac{1}{{tg\alpha }} = \frac{4}{3}\end{aligned}$

$tg\alpha = \frac{7}{{24}}$ $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$

$\begin{aligned}&tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \\ &\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \left. {\frac{7}{{24}}} \right| \cdot \cos \alpha \\ &\sin \alpha = \frac{7}{{24}} \cdot \cos \alpha\end{aligned}$

$\begin{aligned}&tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \\ &\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \left. {\frac{7}{{24}}} \right| \cdot \cos \alpha \\ &\sin \alpha = \frac{7}{{24}} \cdot \cos \alpha \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( {\frac{7}{{24}} \cdot \cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &\frac{{49}}{{576}} \cdot {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha \left( {\frac{{49}}{{576}} + 1} \right) = 1 \\ &\cos \alpha = \frac{{24}}{{25}} \\ &\sin \alpha = \frac{7}{{24}} \cdot \frac{{24}}{{25}} \\ &\sin \alpha = \frac{7}{{25}} \\ &ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{24}}{7}\end{aligned}$

Кад је позната једна тригонометријска функција оштрог угла, остале рачунате из основних релација. Из $\sin\alpha$ добијате $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ , а затим $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$ . Кад је задат тангенс, напишите $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$ , убаците у $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и добијате $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$ . На пример, из $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ је $\cos^2\alpha = \frac{16}{25}$ , па је $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ . За $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ све вредности су позитивне, а резултат проверите тако што израчунате $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ .

Изразе са карактеристичним угловима рачунајте тако што прво упишете тачне вредности, на пример $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$ и $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , па тек онда сређујете двојни разломак. Пре дељења проверите да именилац није нула.

tg α (висина : ширина)0,5625

cos α: 0,8716
sin α: 0,4903
Ширина: 121,8 cm
Висина: 68,5 cm

Дијагонала је стално 55 инча. Формат 16 : 9 је

\operatorname{tg}\alpha = 0{,}5625

и даје ширину 121,8 cm, као у примеру; формат 4 : 3, тј.

\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75

, даје ужи и виши екран исте дијагонале.

Произвођачи екрана, фотографи и дизајнери рачунају ширину и висину екрана или кадра из дијагонале и односа страница, а тај однос је управо тангенс угла између дијагонале и дуже странице.

Екран телевизора

Телевизор има екран дијагонале 55 инча, што је 139,7 cm, и однос страница 16 : 9. За угао $\alpha$ између дијагонале и доње ивице екрана важи $\operatorname{tg}\alpha = \frac{9}{16}$ . Израчунајте $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ , а затим ширину и висину екрана.

Решење

Из $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ следи $\sin\alpha = \frac{9}{16}\cos\alpha$ .
Убацимо у $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ : $\frac{81}{256}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , тј. $\frac{337}{256}\cos^2\alpha = 1$ , па је $\cos^2\alpha = \frac{256}{337}$ .
Угао је оштар, па је $\cos\alpha = \frac{16}{\sqrt{337}} \approx 0{,}8716$ и $\sin\alpha = \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{337}} = \frac{9}{\sqrt{337}} \approx 0{,}4903$ .
Ширина је налегла катета: $139{,}7 \cdot 0{,}8716 \approx 121{,}8$ cm, а висина наспрамна: $139{,}7 \cdot 0{,}4903 \approx 68{,}5$ cm.

Одговор: Екран је широк око 121,8 cm и висок око 68,5 cm.

Задатак за вежбу

Ако је $\cos\alpha = \frac{2}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ , израчунајте $\sin\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ .

Прикажи решење

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .