Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Вектори – примери 3

Вектори, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7   У паралелограму ABCDABCD докажи да је AC→+BC→=2BC→\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC}.

Пр.8   Нека су MM, NN и PP средишта страница BCBC, CACA и ABAB троугла ABCABC. Докажи да је AM→+BN→+CP→=0→\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0.

Пр.9   Дат је правилан шестооугао ABCDEFABCDEF. Нека су MM, NN, PP, QQ, RR и SS редом средишта страница ABAB, CDCD, DEDE, EFEF и FAFA. Докажи да је тада MN→+PQ→+RS→=0→\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0.

Пр.7

63

BC→=BA→+AC→BC→=BD→+DC→∣+2BC→=BA→+AC→+BD→+DC→BA→+DC→=0→2BC→=AC→+BD→\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \\ &\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC}\end{aligned} \right| + \\ &2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} \\ &\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \\ &2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\end{aligned}

Пр.8

64

AM→=AB→+BM→BN→=BC→+CN→CP→=CA→+AP→∣+AM→+BN→+CP→=AB→+BM→+BC→+CN→+CA→+AP→BM→=12BC→CN→=12CA→AP→=12AB→AM→+BN→+CP→=32BC→+32CA→+32AB→=32(BC→+CA→+AB→)AB→+BC→=AC→AM→+BN→+CP→=320→=0→\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \\ &\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ &\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AP}\end{aligned} \right| + \\ &\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AP} \\ &\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\ &\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \\ &\overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ &\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{3}{2}\overrightarrow {CA} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) \\ &\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \\ &\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \frac{3}{2}\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0\end{aligned}

Пр.9

65

MN→=NB→+BN→PQ→=PD→+DQ→RS→=RF→+FS→∣+MN→+PQ→+RS→=NB→+BN→+PD→+DQ→+RF→+FS→==12AB→+12BC→+12CD→+12DE→+12EF→+12FA→==12(AB→+BC→+CD→+DE→+EF→+FA→)BC→+CD→+DE→+EF→+FA→=BA→MN→+PQ→+RS→=120→=0→\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BN} \\ &\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {DQ} \\ &\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RF} + \overrightarrow {FS}\end{aligned} \right| + \\ &\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {DQ} + \overrightarrow {RF} + \overrightarrow {FS} = \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} + \frac{1}{2}\overrightarrow {FA} = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} } \right) \\ &\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {BA} \\ &\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0\end{aligned}

Збир вектора дуж затворене изломљене линије једнак је нула-вектору: AB→+BC→+CA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec 0, јер се враћате у почетну тачку. На томе почивају докази у којима збир треба да буде 0⃗\vec 0.

Поступак је увек сличан: сваки вектор запишите као пут преко темена и средишта, саберите једнакости, па групишите векторе који чине затворен пут или су супротни. Ако су MM, NN и PP средишта страница троугла ABCABC, онда је BM→=12BC→\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} и слично, па је AM→+BN→+CP→=32(AB→+BC→+CA→)=0⃗\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CP} = \frac{3}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) = \vec 0. У паралелограму ABCDABCD користите AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, односно BA→+DC→=0⃗\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec 0. Пазите да у збиру сваки вектор има исправан смер.

F₁F₂F₃
|F₁|
40 N
|F₂|
75 N
|F₃|
85 N
|F₁ + F₂ + F₃|
0 N
Трећа сила је увек супротна збиру прве две, па је F⃗1+F⃗2+F⃗3=0⃗\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = \vec 0. Надовезане једна на другу, три силе затварају зелени троугао. Један квадратић мреже је 10 N.

Инжењери статике користе исто правило: тело мирује кад је збир свих сила на њега нула-вектор, па нацртане једна за другом силе затварају многоугао. Тако се рачунају силе у сајлама, гредама и носачима.

Прстен на три конопца

Троје деце вуче конопце везане за исти метални прстен. Прво дете вуче ка истоку силом од 40 N, а друго ка северу силом од 75 N. Којом силом и у ком смеру мора да вуче треће дете да би прстен мировао?

Решење

  1. Прстен мирује кад је збир сила нула-вектор: F⃗1+F⃗2+F⃗3=0⃗\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = \vec 0, па је F⃗3=−(F⃗1+F⃗2)\vec F_3 = -(\vec F_1 + \vec F_2).
  2. Надовезане једна на другу, три силе затварају троугао: F⃗1\vec F_1 и F⃗2\vec F_2 су катете, а F⃗3\vec F_3 води од краја F⃗2\vec F_2 назад до почетка F⃗1\vec F_1.
  3. Силе F⃗1\vec F_1 и F⃗2\vec F_2 су нормалне, па је ∣F⃗3∣=∣F⃗1+F⃗2∣=402+752=1600+5625=7225=85|\vec F_3| = |\vec F_1 + \vec F_2| = \sqrt{40^2 + 75^2} = \sqrt{1600 + 5625} = \sqrt{7225} = 85 N.
  4. Вектор F⃗1+F⃗2\vec F_1 + \vec F_2 чине 40 N ка истоку и 75 N ка северу, па F⃗3\vec F_3 чине 40 N ка западу и 75 N ка југу: показује ка југозападу, ближе југу.

Одговор: Треће дете мора да вуче силом од 85 N, тачно супротно збиру прве две силе: ка југозападу, ближе југу.

Задатак за вежбу

Нека је TT тежиште троугла ABCABC, а MM, NN и PP средишта страница BCBC, CACA и ABAB. Тежиште дели сваку тежишну дуж у односу 2:12 : 1 од темена. Докажите да је TA→+TB→+TC→=0⃗\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = \vec 0.

Прикажи решење

Из AT=23AMAT = \frac{2}{3}AM следи TA→=−23AM→\overrightarrow{TA} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}, а слично TB→=−23BN→\overrightarrow{TB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} и TC→=−23CP→\overrightarrow{TC} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}. Збир је −23(AM→+BN→+CP→)=−23⋅0⃗=0⃗-\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CP}) = -\frac{2}{3} \cdot \vec 0 = \vec 0.