Апсолутна вредност – теорија и примери 1 и 2

Дефиниција и примери две једноставније једначине са апсолутном вредношћу.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1 Решити једначину: $\left| {2x} \right| = 1$

Пр.2

Пр.1

$\begin{aligned}&\left| {2x} \right| = 1 \\ &\left| {2x} \right| = \left\{ \begin{aligned}&2x,\text{ ако је }2x \geqslant 0 \\ &- 2x,\text{ ако је }2x < 0\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = \left\{ \begin{aligned}&2x,\text{ ако је }x \geqslant 0 \\ &- 2x,\text{ ако је }x < 0\end{aligned} \right. \\ &2x = 1 \cap x \geqslant 0\text{ или } - 2x = 1 \cap x < 0 \\ &x = \frac{1}{2} \cap x \geqslant 0\text{ или } x = - \frac{1}{2} \cap x < 0\end{aligned}$

Коначно решење:

$x = \pm \frac{1}{2}$

Апсолутна вредност броја је његово растојање од нуле на бројевној правој: $|x| = x$ за $x \ge 0$ и $|x| = -x$ за $x < 0$ . Зато је увек $|x| \ge 0$ , а $|a - b|$ је растојање бројева $a$ и $b$ .

Једначину $|A| = c$ решавате према $c$ : за $c < 0$ нема решења, за $c = 0$ је $A = 0$ , а за $c > 0$ важи $A = c$ или $A = -c$ . Општи поступак је дефиниција по случајевима: $|2x| = 2x$ за $x \ge 0$ и $|2x| = -2x$ за $x < 0$ . У сваком случају решите једначину без апсолутне вредности и проверите да ли решење испуњава услов тог случаја. Честа грешка је мислити да је $-x$ увек негативан: за $x = -3$ је $-x = 3$ .

Положај x16 km

Растојање |x − 12|: 4 km

Тачно две тачке су на растојању 7 од броја 12, то су 5 и 19, па једначина

|x - 12| = 7

има два решења. Померите тачку

x

и пронађите их.

Апсолутна вредност описује одступање без обзира на смер: дозвољено одступање од мере у производњи, удаљеност од километарске ознаке на путу или разлику између стварне и задате температуре на термостату.

Шлеп-служба на путу

Ауто се покварио на 12. километру магистралног пута. Возач шлеп-службе јавља телефоном да је на истом путу, тачно 7 km далеко, али не каже у ком смеру. На ком километру $x$ може бити шлеп-служба?

Решење

Растојање између километара $x$ и 12 је $|x - 12|$ , па решавамо $|x - 12| = 7$ .
Ако је $x - 12 \ge 0$ , тј. $x \ge 12$ : $x - 12 = 7$ , па је $x = 19$ , што испуњава услов.
Ако је $x - 12 < 0$ , тј. $x < 12$ : $-(x - 12) = 7$ , па је $x = 5$ , што такође испуњава услов.

Одговор: Шлеп-служба је на 5. или на 19. километру пута.

Задатак за вежбу

Решите једначину $|3x - 2| = 4$ .

Прикажи решење

$3x - 2 = 4$ даје $x = 2$ , а $3x - 2 = -4$ даје $x = -\frac{2}{3}$ . Решења су $x = 2$ и $x = -\frac{2}{3}$ .