Децимални запис

Децимални запис разломка. Запис у облику разломка, децималног броја са бесконачно много децимала.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Како децимални број записати у облику разломка?

Пр.2 Како записати, у облику разломка, децимални број који има

бесконачно много децимала?

Пр.3 Претворити број $0,\overline {207}$ у разломак.

Пр.4 Претворити број $5,52\overline {49}$ у разломак.

Пр.1

$\begin{aligned}&0,34 = \frac{{34}}{{100}} = \frac{{17}}{{50}} \\ &12,0012 = 12\frac{{12}}{{10000}} = 12\frac{3}{{2500}} \\ &1,0102 = 1\frac{{102}}{{10000}} = 1\frac{{51}}{{5000}}\end{aligned}$

Пр.2

$0,33\dot 3 = \frac{1}{3}$

Означимо са

$\begin{aligned}&x = 0,33\dot 3 \\ &10x = 3,3\dot 3 \\ &10x - x = 3,3\dot 3 - 0,33\dot 3 \\ &9x = 3 \\ &x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&0,\overline {207} = 0,207207207... \\ &x = 0,207207207... \\ &1000x = 207,207207... \\ &1000x - x = 207,207207... - 0,207207207... \\ &999x = 207 \\ &x = \frac{{207}}{{999}} = \frac{{23}}{{111}}\end{aligned}$

Пр.4

$\begin{aligned}&5,52\overline {49} = 5,524952495249... \\ &x = 5,524952495249... \\ &100x = 552,4952495249... \\ &10000x = 55249,52495249... \\ &10000x - 100x = 55249,52495249... - 552,4952495249... \\ &9900x = 54697 \\ &x = \frac{{54697}}{{9900}}\end{aligned}$

Коначан децимални број пишете као разломак са имениоцем 10, 100, 1000… и скратите: $0{,}34 = \frac{34}{100} = \frac{17}{50}$ . Скраћен разломак има коначан децимални запис само ако му именилац нема других простих чинилаца осим 2 и 5; иначе је запис бесконачан и периодичан.

Чисто периодичан број претварате овако: означите га са $x$ , помножите са $10^k$ , где је $k$ број цифара периоде, и одузмите $x$ . За $x = 0{,}\overline{207}$ је $1000x - x = 207$ , па је $x = \frac{207}{999} = \frac{23}{111}$ . Код мешовито периодичног броја прво померите зарез иза претпериоде, па поступите исто. Пазите да се периоде у бројевима које одузимате поклапају, иначе бесконачни део не нестаје. Занимљиво: $0{,}\overline{9} = 1$ .

Именилац d11

1/d: 0,090909

Кад именилац има само чиниоце 2 и 5 (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20), децимални запис броја

\frac{1}{d}

се завршава. За остале имениоце децимале се понављају:

\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}

,

\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}

и

\frac{1}{11} = 0{,}\overline{09}

, па је

\frac{5}{11} = 0{,}\overline{45}

.

Кад калкулатор прикаже 0,1666666, иза тога је често разломак $\frac{1}{6}$ ; програми као што је Excel умеју такав број да прикажу као разломак, а при подели рачуна или прерачуну рата периодичне децимале се заокружују.

Погоци кошаркаша

Тренер кошаркашког клуба у Краљеву дели број погодака једног играча бројем његових шутева, а калкулатор приказује 0,4545454545. Претпоставимо да је то број $0{,}\overline{45}$ . Колико је најмање шутева играч упутио и колико их је погодио?

Решење

Нека је $x = 0{,}\overline{45} = 0{,}4545\ldots$ Периода има две цифре, па множимо са 100: $100x = 45{,}4545\ldots$
Одузимањем нестаје бесконачни део: $100x - x = 45$ , тј. $99x = 45$ .
Дакле, $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$ , а тај разломак се даље не може скратити.
Број погодака и број шутева су у односу $5 : 11$ , па је број шутева дељив са 11: најмање 11 шутева и 5 погодака.

Одговор: Играч је упутио најмање 11 шутева и погодио 5 (могуће је и 22 и 10, 33 и 15 итд.).

Задатак за вежбу

Претворите број $2{,}1\overline{36}$ у разломак.

Прикажи решење

За $x = 2{,}1\overline{36}$ је $10x = 21{,}\overline{36}$ и $1000x = 2136{,}\overline{36}$ . Одузимањем добијамо $990x = 2115$ , па је $x = \frac{2115}{990} = \frac{47}{22}$ .