Функције – пример 3

Видео лекција школе Рајак посвећена пропорционалности.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3 Одредити инверзно пресликавање:

$f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x + 7}}$

Пр.3

Знамо

$\begin{aligned}&{f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x \\ &{f^{ - 1}}\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 7}}} \right) = x\end{aligned}$

Стављајући $t = \frac{{x - 3}}{{x + 7}}$ добиjамо,

$\begin{aligned}&x = \frac{{7t + 3}}{{1 - t}} \\ &{f^{ - 1}}\left( t \right) = \frac{{7t + 3}}{{1 - t}}\end{aligned}$

Дакле, тражена инвeрзна функциjа функциjе f се у овом случаjу може дефинисати формулом:

${f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{{7x + 3}}{{1 - x}}$

Инверзна функција $f^{-1}$ враћа слику у оригинал: $f^{-1}(f(x)) = x$ . Постоји само ако је $f$ бијекција, тј. ако свака вредност има тачно један оригинал. Налази се у три корака: напишите $y = f(x)$ , решите једначину по $x$ , па замените ознаке $x$ и $y$ .

За $f(x) = \frac{x - 3}{x + 7}$ из $y(x + 7) = x - 3$ следи $x(1 - y) = 7y + 3$ , па је $f^{-1}(x) = \frac{7x + 3}{1 - x}$ . Функција $f$ дефинисана је за $x \neq -7$ , а инверзна за $x \neq 1$ , јер $f$ никад не достиже вредност 1. Резултат проверите на једном броју: $f(0) = -\frac{3}{7}$ и $f^{-1}(-\frac{3}{7}) = 0$ . График функције $f^{-1}$ симетричан је графику функције $f$ у односу на праву $y = x$ . Пазите: $f^{-1}(x)$ није $\frac{1}{f(x)}$ .

x тачке A2

f(x): −0,11
f⁻¹(f(x)): 2

Тачка

B

има замењене координате тачке

A

, па је њена слика у односу на праву

y = x

. Зато је график функције

f^{-1}

симетричан графику функције

f

, а асимптоте

x = -7

и

y = 1

прелазе у

y = -7

и

x = 1

.

Кад из износа са ПДВ-ом рачунате цену без ПДВ-а, или кад програм дешифрује шифровану поруку, примењујете инверзну функцију.

Сок од сирупа

За сок се у 10 l воде сипа $x$ литара сирупа, па је удео сирупа у соку $f(x) = \frac{x}{x + 10}$ . Нађите инверзну функцију и израчунајте колико сирупа треба сипати да би сируп чинио 20% сока.

Решење

Пишемо $y = \frac{x}{x + 10}$ и множимо имениоцем: $y(x + 10) = x$ , тј. $yx + 10y = x$ .
Чланове са $x$ пребацимо на једну страну: $x - yx = 10y$ , па је $x(1 - y) = 10y$ и $x = \frac{10y}{1 - y}$ .
Заменом ознака добијамо $f^{-1}(x) = \frac{10x}{1 - x}$ , за $0 \le x < 1$ .
Удео од 20% је $0{,}2$ , па је $f^{-1}(0{,}2) = \frac{10 \cdot 0{,}2}{1 - 0{,}2} = \frac{2}{0{,}8} = 2{,}5$ . Провера: $\frac{2{,}5}{2{,}5 + 10} = \frac{2{,}5}{12{,}5} = 0{,}2$ .

Одговор: Треба сипати 2,5 l сирупа.

Задатак за вежбу

Одредите инверзну функцију функције $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ и проверите резултат за $x = 0$ .

Прикажи решење

Из $y(x - 3) = 2x + 1$ следи $x(y - 2) = 3y + 1$ , па је $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ , $x \neq 2$ . Провера: $f(0) = -\frac{1}{3}$ и $f^{-1}(-\frac{1}{3}) = \frac{-1 + 1}{-\frac{1}{3} - 2} = 0$ .