Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Геометрија – аксиоме

Аксиоме припадања и паралелности.

Геометрија почиње основним појмовима који се не дефинишу: тачка, права, раван и релација „припада“. Њихове особине задају аксиоме. Аксиоме припадања кажу, на пример: кроз две различите тачке пролази тачно једна права; кроз три неколинеарне тачке пролази тачно једна раван; ако две тачке праве припадају равни, цела права лежи у тој равни; ако две различите равни имају заједничку тачку, секу се по правој.

Аксиома паралелности: кроз тачку ван праве pp, у равни коју одређују, постоји тачно једна права паралелна са pp. Последица аксиома је, на пример, да се две различите праве секу највише у једној тачки. Пазите: праве у простору које се не секу не морају бити паралелне, могу бити мимоилазне.

pqAS
25°
Угао између q и p
25°
Свака права кроз AA која није паралелна са pp сече је у некој тачки SS, и што је угао мањи, SS је даље. Само за угао 0∘0^\circ пресека нема: то је једина права кроз AA паралелна са pp, као што каже аксиома паралелности.

Столица на три ноге се никад не клима, јер три тачке одређују раван, а сто на четири ноге може да се клима; зидари из сличног разлога праву линију обележавају канапом затегнутим између две тачке.

Кочићи на градилишту

Геометар на градилишту у Новом Саду побије 6 кочића, од којих никоја три нису на истој правој. Канапом жели да обележи сваку праву коју одређују два кочића. Колико канапа му треба? Колико би их требало да су тачно три кочића на истој правој?

Решење

  1. По аксиоми, кроз два различита кочића пролази тачно једна права, па сваки пар кочића одређује једну праву.
  2. Парова има 6⋅52=15\frac{6 \cdot 5}{2} = 15: сваки од 6 кочића се упари са 5 осталих, а сваки пар је тако бројан двапут.
  3. Пошто никоја три кочића нису на истој правој, различити парови дају различите праве, па правих има 15.
  4. Ако су три кочића на истој правој, њихова три пара дају само једну праву: 15−3+1=1315 - 3 + 1 = 13.

Одговор: Потребно је 15 канапа, а ако су тачно три кочића на истој правој, 13 канапа.

Задатак за вежбу

Колико равни одређује 5 тачака у простору, од којих никоје четири нису у истој равни?

Прикажи решење

Никоје три тачке нису колинеарне (иначе би са било којом четвртом биле у истој равни), па свака тројка одређује тачно једну раван, а различите тројке дају различите равни. Тројки има 5⋅4⋅36=10\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10, па равни има 10.