Геометрија – четвороуглови 1

Четвороугао. Подела четвороуглова. Особине четвороуглова. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Дат је паралелограм $ABCD$ . Дијагонала $AC$ дели угао

$\angle BАD$ на два угла који се разликују за $20^\circ$ . Висина

из темена $D$ на станицу $BC$ сече дијагоналу $AC$ у тачки $H$

тако да је $\angle AHD = 50^\circ$ .

Израчунај углове овог четвороугла.

Пр.1

Означимо са $\alpha$ и $\alpha + {20^ \circ }$ углови $\angle BAC$ и $\angle CAD$ .

Висина из темена $D$ сече станицу $BC$ у тачки $Е$ .

У $\vartriangle HEC$ $\angle HEC = {90^ \circ }$ , $\angle EHC = \angle AHD = {50^ \circ }$ (унакрсни).

$\begin{aligned}&{90^ \circ } + {50^ \circ } + \angle ECH = {180^ \circ } \\ &\angle ECH = {40^ \circ }\end{aligned}$

$\angle ECH = \angle HAE\left( {AD\parallel BC} \right)$ , онда

$\begin{aligned}&\alpha + {20^ \circ } = {40^ \circ } \\ &\alpha = {20^ \circ }\end{aligned}$

$\angle BAD = \alpha + \alpha + {20^ \circ } = {100^ \circ } \Rightarrow \angle BCD = {100^ \circ }.$

$\begin{aligned}&\angle BAD + \angle ABC = {180^ \circ } \\ &{100^ \circ } + \angle ABC = {180^ \circ } \\ &\angle ABC = {80^ \circ } \Rightarrow \angle ADC = {80^ \circ }\end{aligned}$

Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је $360^\circ$ . Трапез има бар један пар паралелних страница, а паралелограм два. У паралелограму су наспрамне странице и наспрамни углови једнаки, суседни углови су суплементни, $\alpha + \beta = 180^\circ$ , а дијагонале се полове. Правоугаоник има и једнаке дијагонале, ромб има нормалне дијагонале које полове његове углове, а квадрат има све те особине.

Дијагонала паралелограма са паралелним страницама гради наизменичне углове, на пример $\measuredangle BCA = \measuredangle CAD$ , и то је најчешћи кључ задатка. Пазите: дијагонала полови угао паралелограма само кад је он ромб, па у општем случају дели угао на два различита дела.

α = ∢DAB: 55°
α + β: 180°
∢CAD: 30°
∢BCA: 30°

Ма како померили темена, суседни углови паралелограма дају

180^\circ

. Дијагонала

AC

гради једнаке наизменичне углове

\measuredangle CAD

и

\measuredangle BCA

, а угао код

A

полови само кад су све странице једнаке.

Маказаста дизалица и стона лампа на зглобовима користе паралелограме: кад се зглобови померају, наспрамне странице остају паралелне, па платформа или глава лампе задржава исти положај.

Панел ограде на степеништу

Панел ограде на степеништу у Краљеву има облик паралелограма $ABCD$ : стубови $AD$ и $BC$ су вертикални, а доња пречка $AB$ и горња $DC$ прате нагиб степеништа од $35^\circ$ . Дијагонална пречка $AC$ са стубом $AD$ заклапа угао од $30^\circ$ . Одредите углове панела и углове које дијагонала заклапа са доњом пречком и са стубом $BC$ .

Решење

Стуб $AD$ је вертикалан, а пречка $AB$ се пење под углом од $35^\circ$ , па је $\measuredangle DAB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Суседни углови паралелограма су суплементни: $\measuredangle ABC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$ , а наспрамни су једнаки: $\measuredangle BCD = 55^\circ$ и $\measuredangle CDA = 125^\circ$ .
Дијагонала дели угао код $A$ : $\measuredangle BAC = 55^\circ - 30^\circ = 25^\circ$ .
Пошто је $AD \parallel BC$ , наизменични углови су једнаки: $\measuredangle BCA = \measuredangle CAD = 30^\circ$ . Провера у троуглу $ABC$ : $25^\circ + 125^\circ + 30^\circ = 180^\circ$ .

Одговор: Углови панела су $55^\circ$ , $125^\circ$ , $55^\circ$ и $125^\circ$ ; дијагонала са доњом пречком заклапа $25^\circ$ , а са стубом $BC$ угао од $30^\circ$ .

Задатак за вежбу

У паралелограму $ABCD$ дијагонала $AC$ са страницом $AB$ заклапа угао од $32^\circ$ , а са страницом $AD$ угао од $48^\circ$ . Одредите углове паралелограма и угао $\measuredangle ACD$ .

Прикажи решење

$\alpha = 32^\circ + 48^\circ = 80^\circ$ и $\beta = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ , па су углови $80^\circ$ , $100^\circ$ , $80^\circ$ и $100^\circ$ . Пошто је $AB \parallel CD$ , $\measuredangle ACD = \measuredangle CAB = 32^\circ$ .