Рационални алгебарски изрази 3

Дистрибутивни закон. Разлика квадрата. Растављање алгебарских израза на чиниоце. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5 Растави изразе на чиниоце:

${x^2} - 49 =$

$9{x^2} - 64{y^2} =$

$0,04{x^2} - {y^2} =$

$\frac{{16{a^2}}}{{25}} - \frac{{36}}{{8 + {b^2}}} =$

${\left( {x - 3} \right)^2} - 4 =$

$36{a^2} - {\left( {b - 2a} \right)^2} =$

${\left( {x - y} \right)^2}-25{\left( {x + y} \right)^2} =$

Пр.5

${x^2} - 49 = {x^2} - {7^2} = \left( {x - 7} \right)\left( {x + 7} \right)$

$9{x^2} - 64{y^2} = {\left( {3x} \right)^2} - \left( {8{y^2}} \right) = \left( {3x - 8y} \right)\left( {3x + 8y} \right)$

$0,04{x^2} - {y^2} = {\left( {0,2x} \right)^2} - {\left( {{y^2}} \right)^2} = \left( {0,2x - {y^2}} \right)\left( {0,2x + {y^2}} \right)$

$\frac{{16{a^2}}}{{25}} - \frac{{36}}{{8 + {b^2}}} = \frac{{16{a^2}}}{{25}} - \frac{{36}}{{81{b^2}}} = {\left( {\frac{{4a}}{5}} \right)^2} - {\left( {\frac{6}{{9b}}} \right)^2} = \left( {\frac{{4a}}{5} - \frac{6}{{9b}}} \right)\left( {\frac{{4a}}{5} + \frac{6}{{9b}}} \right)$

${\left( {x - 3} \right)^2} - 4 = {\left( {x - 3} \right)^2} - 4 = {\left( {x - 3} \right)^2} - {2^2} = \left( {\left( {x - 3} \right) - 2} \right)\left( {\left( {x - 3} \right) + 2} \right) =$

$= \left( {x - 3 - 2} \right)\left( {x - 3 + 2} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)$

$36{a^2} - {\left( {b - 2a} \right)^2} = 36{a^2} - {\left( {b - 2a} \right)^2} = {\left( {6a} \right)^2} - {\left( {b - 2a} \right)^2} =$
$= \left( {6a - \left( {b - 2a} \right)} \right)\left( {6a + \left( {b - 2a} \right)} \right) = \left( {6a - b + 2a} \right)\left( {6a + b - 2a} \right) =$
$= \left( {8a - b} \right)\left( {4a + b} \right)$

${\left( {x - y} \right)^2}-25{\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^2} - 25{\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {5\left( {x + y} \right)} \right)^2} =$
$= \left( {\left( {x - y} \right) + \left( {5\left( {x + y} \right)} \right)} \right)\left( {\left( {x - y} \right) - \left( {5\left( {x + y} \right)} \right)} \right) =$
$= \left( {x - y + 5x + 5y} \right)\left( {x - y - 5x - 5y} \right) =$
$= \left( {6x + 4y} \right)\left( { - 4x - 6y} \right)$

Разлика квадрата раставља се по формули $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ . Овде $A$ и $B$ могу бити и изрази, зато прво сваки члан запишите као квадрат: $9x^2 = (3x)^2$ , $0{,}04x^2 = (0{,}2x)^2$ , $\frac{16a^2}{25} = \left(\frac{4a}{5}\right)^2$ . Израз препознајете по томе што има два члана, оба су потпуни квадрати, а између њих је минус. Ако сви чланови имају заједнички чинилац, извуците га прво: $2x^2 - 18 = 2(x - 3)(x + 3)$ .

Кад је $B$ бином, ставите га у заграду пре одузимања: $16 - (x + 1)^2 = (4 - (x + 1))(4 + (x + 1)) = (3 - x)(5 + x)$ . Најчешћа грешка је изгубљен знак: $-(x + 1) = -x - 1$ . Збир квадрата $A^2 + B^2$ се на овај начин не раставља. Формула помаже и у рачунању напамет: $51 \cdot 49 = 50^2 - 1^2 = 2499$ .

Страница трга a38 m

Страница фонтане b12 m

a² − b²: 1300 m²
(a − b)(a + b): 1300 m²

Кад из квадрата

a^2

исечете квадрат

b^2

, остатак се сложи у правоугаоник са страницама

a - b

и

a + b

. За трг из примера то је

26 \cdot 50 = 1300

m².

Површина рама, стазе или плочника око квадратног базена или фонтане је разлика два квадрата, а производ $(a - b)(a + b)$ често се лакше израчуна, чак и напамет.

Плочник око фонтане

Квадратни трг има страницу 38 m. У средини је квадратна фонтана странице 12 m, а остатак трга треба поплочати. Колико квадратних метара плочника треба? Израчунајте помоћу разлике квадрата.

Решење

Површина плочника је разлика површина трга и фонтане: $38^2 - 12^2$ .
По формули $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ је $38^2 - 12^2 = (38 - 12)(38 + 12) = 26 \cdot 50$ .
$26 \cdot 50 = 1300$ , што се лако израчуна напамет. Провера: $1444 - 144 = 1300$ .

Одговор: Треба поплочати 1300 m² трга.

Задатак за вежбу

Раставите на чиниоце: $(2x + 1)^2 - 9$ .

Прикажи решење

$(2x + 1)^2 - 3^2 = (2x + 1 - 3)(2x + 1 + 3) = (2x - 2)(2x + 4) = 4(x - 1)(x + 2)$ .