Четврти разред средње школе

Екстремне вредности и превојне тачке функција 1

Монотоност и екстремне вредности функција. Конвексност, конкавност и превојне тачке функција. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Одредити монотоност, екстремне вредности, конвексност и

            превојне тачке функције:

            $y = 2{x^3} - 6{x^2} - 18x + 7$

Пр.2)    $y = \frac{{x - 3}}{{x - 5}}$

           

Пр.1)    $y = 2{x^3} - 6{x^2} - 18x + 7$

${D_f}:\mathbb{R} $
$y' = 6{x^2} - 12x - 18 $
$6{x^2} - 12x - 18 = 0|:6 $
${x^2} - 2x - 3 = 0 $
${x_{1/2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 12} }}{2} $
${x_{1/2}} = \frac{{2 \pm 4}}{2} $
${x_1} = 3;{x_2} = - 1$

451 png


$f'\left( x \right) > 0;\text{    за }x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\text{    функција је растућа    }f \nearrow $
$f'\left( x \right) < 0;\text{    за }x \in \left( { - 1;3} \right)\text{    функција је опадајућа    }f \searrow $
452 png


${T_{\max }}\left( { - 1;17} \right) $
${T_{\min }}\left( {3; - 47} \right) $

${y_{\max }} = 2{\left( { - 1} \right)^3} - 6{\left( { - 1} \right)^2} - 18\left( { - 1} \right) + 7 = 17$

${y_{\min }} = 2 \cdot {3^3} - 6 \cdot {3^2} - 18 \cdot 3 + 7 =  - 47$

 

$y'' = 12x - 12$

$12x - 12 = 0$

$12x = 12$

$x = 1$

453 png

 

 

Пр.2)    $y = \frac{{x - 3}}{{x - 5}}$

$Df:x - 5 \ne 0$

$x \ne 5$

$Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}$

$y' = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^\prime }\left( {x - 5} \right) - {{\left( {x - 5} \right)}^\prime }\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{x - 5 - \left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{x - 5 - x + 3}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}$

454 png

$f'\left( x \right) = 0$

$\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = 0$

$ - 2 = 0 \bot  \Rightarrow $  нема екстремних вредности

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}$

$y'' = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^\prime }{{\left( {x - 5} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}} = \frac{{4\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}$        

455 png