Функције – домен функције 2

Функција. Домен функције. Одређивање домена код рационалне, корене и логаритамске функције. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити област дефинисаности функција:

пр.6) $y=log\frac{{1-2x}}{3{{x^2}+7x - 6}}$

пр.7) $y=\frac{{1-ln(1-x)}}{1-\sqrt{{x^2}-3}}$

пр.6) $y=log\frac{{1-2x}}{3{{x^2}+7x - 6}}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {Df:}&{3{x^2} + 7x - 6 \ne 0}& \cap &{\frac{{1 - 2x}}{{3{x^2} + 7x - 6}} > 0} \\ {}&{{x_{1,2}} \ne \frac{{ - 7 \pm \sqrt {49 + 72} }}{6}}&{}&{1 - 2x = 0} \\ {}&{{x_{1,2}} \ne \frac{{ - 7 \pm 11}}{6}}&{}&{ - 2x = - 1} \\ {}&{{x_{1,2}} \ne \frac{{ - 7 \pm 11}}{6}}&{}&{x = \frac{1}{2}} \end{array}$

421 png

$x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right)$

пр.7) $y=\frac{{1-ln(1-x)}}{1-\sqrt{{x^2}-3}}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {Df:}&{1 - \sqrt {{x^2} - 3} \ne 0}& \cap &{{x^2} - 3 \geqslant 0}& \cap &{1 - x > 0} \\ {}&{\sqrt {{x^2} - 3} \ne 1}&{}&{{x^2} - 3 = 0}&{}&{x < 1} \\ {}&{{x^2} - 3 \ne 1}&{}&{{x^2} = 3}&{}&{} \\ {}&{{x^2} \ne 4}&{}&{x = \pm \sqrt 3 }&{}&{} \\ {}&{x \ne \pm 2}&{}&{}&{}&{} \end{array}$

422 png

${x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\infty } \right)}$

423 png

$x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2; - \sqrt 3 } \right]$

Кад функција садржи више израза, домен је пресек свих услова: именилац различит од нуле, израз под парним кореном ненегативан и аргумент логаритма позитиван. Сваки услов решите посебно, решења нацртајте на истој бројевној правој и задржите само део који задовољава све услове.

Код логаритма разломка, као $\log\frac{1 - 2x}{3x^2 + 7x - 6}$ , услов је $\frac{1 - 2x}{3x^2 + 7x - 6} > 0$ : нађите нуле бројиоца и имениоца и знак разломка на сваком интервалу. Нуле имениоца никад не улазе у домен. Ако је корен у имениоцу, као $1 - \sqrt{x^2 - 3}$ , искључите и тачке у којима је цео именилац нула, овде $x = \pm 2$ . Честа грешка је да се неки од услова заборави.

Тачка x−2,5

1 − x (мора бити > 0): 3,5
x² − 3 (мора бити ≥ 0): 3,25
x² − 4 (не сме бити 0): 2,25

Ово је пример 7 са странице. Сваки услов има своју траку:

x < 1

због логаритма и

x^2 \geqslant 3

због корена, а тачке

x = \pm 2

отпадају јер је у њима именилац нула. Тачка је у домену само кад су испуњена сва три услова:

1 - x > 0

,

x^2 - 3 \geqslant 0

и

x^2 - 4 \ne 0

.

Калкулатор и Excel јављају грешку кад вредност изађе из домена формуле, па се домен проверава пре рачунања. У формули за број рата кредита логаритам постоји само ако је рата већа од месечне камате: са мањом ратом дуг се никада не би отплатио.

Колико рата за кредит

Узимате кредит од 120.000 динара уз месечну камату од 1%. Ако месечно плаћате рату од $R$ динара, број рата је $n(R) = -\frac{\ln\left(1 - \frac{1200}{R}\right)}{\ln 1{,}01}$ . Одредите домен ове функције и објасните шта значи, па израчунајте колико рата треба за $R = 6000$ динара.

Решење

Логаритам постоји само за позитиван аргумент, а у разломку $\frac{1200}{R}$ мора бити $R \ne 0$ . Услов је $1 - \frac{1200}{R} > 0$ .
Сводимо на један разломак: $\frac{R - 1200}{R} > 0$ . Нула бројиоца је $R = 1200$ , а имениоца $R = 0$ .
Разломак је позитиван кад бројилац и именилац имају исти знак, па је $D_n = (-\infty, 0) \cup (1200, +\infty)$ .
Рата је позитиван износ, па у стварности мора бити $R > 1200$ : рата мора бити већа од месечне камате, а то је 1% од 120.000, тј. 1200 динара.
За $R = 6000$ : $n = -\frac{\ln 0{,}8}{\ln 1{,}01} \approx 22{,}4$ , па су потребне 23 рате, од којих је последња мања.

Одговор: Домен је $(-\infty, 0) \cup (1200, +\infty)$ : рата мора бити већа од 1200 динара, а са ратом од 6000 динара кредит се отплати у 23 рате.

Задатак за вежбу

Одредите домен функције $y = \log\frac{x + 3}{x^2 - 4}$ .

Прикажи решење

Услов је $\frac{x + 3}{(x - 2)(x + 2)} > 0$ . Нуле су $-3$ , $-2$ и $2$ , знак разломка по интервалима је $-, +, -, +$ , па је $D = (-3, -2) \cup (2, +\infty)$ .