Примена одређеног интеграла 6

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање запремине обртних тела. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.6) Израчунати запремину тела које настаје обртањем криве

$y = 9x - {x^2}$ око $x$ -осе.

$y = 9x - {x^2}$

$y = 0$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {9x - {x^2} = 0} \\ {x\left( {9 - x} \right) = 0} \\ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&x = 0\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&9 - x = 0 \\ &x = 9\end{aligned} \end{array}} \end{array}$

485 png

486 png

$V = \pi \int\limits_0^9 {{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}dx = } \pi \int\limits_0^9 {\left( {81{x^2} - 18{x^3} + {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {81\frac{{{x^3}}}{3} - 18\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^9 =$

$= \pi \left( {27 \cdot {9^3} - \frac{9}{2} \cdot {9^4} + \frac{{{9^5}}}{5} - 0} \right) = \pi \left( {27 \cdot 729 - \frac{9}{2} \cdot 6561 + \frac{{59049}}{5}} \right) =$

$= \pi \left( {19683 - \frac{{59049}}{2} + \frac{{59049}}{5}} \right) =$

$= \pi \frac{{196830 - 295245 + 118098}}{{10}} = \frac{{19683}}{{10}}\pi = 1968,3\pi$

Кад се део криве $y = f(x)$ , $a \le x \le b$ , обрне око осе $x$ , настаје обртно тело запремине $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ . Сваки танак попречни пресек је круг полупречника $f(x)$ и површине $\pi f^2(x)$ , а интеграл сабира те кругове. Границе су најчешће нуле функције, где тело почиње и завршава се. Квадрат функције пажљиво развијте пре интеграције, на пример $(6x - x^2)^2 = 36x^2 - 12x^3 + x^4$ . За лук $y = x(a - x)$ добија се $V = \frac{\pi a^5}{30}$ , што је корисна провера. Ако се обрће област између две криве, од квадрата спољне одузимате квадрат унутрашње.

Најчешће грешке су заборављен квадрат, интеграл функције уместо њеног квадрата и изостављен фактор $\pi$ .

Дужина L12 cm

Коефицијент c0,1

Највећи полупречник: 3,6 cm
Запремина π c² L⁵ / 30: 260,6 cm³
Маса буковог вретена: 182 g

Плава површина је осни пресек вретена: обртањем профила

y = cx(L - x)

око осе

x

настаје тело запремине

\pi\int_0^L c^2x^2(L - x)^2\,dx = \frac{\pi c^2L^5}{30}

. Ако удвостручите

L

, а

c

оставите, запремина порасте 32 пута.

Стругари и конструктори овако рачунају запремину и масу делова изрезаних на стругу, као што су вретена, дршке, ручке и дрвене посуде.

Дрвено вретено

Стругар у радионици у Крагујевцу прави дрвено вретено чији профил прати криву $y = 0{,}1x(12 - x)$ , за $0 \le x \le 12$ (у центиметрима). Колика је запремина вретена и колика маса, ако је густина буковине 0,7 g по cm³?

Решење

Вретено настаје обртањем криве $y = 0{,}1x(12 - x)$ око осе $x$ , од $x = 0$ до $x = 12$ , где је $y = 0$ .
$V = \pi\int_0^{12} 0{,}01x^2(12 - x)^2\,dx = 0{,}01\pi\int_0^{12}(144x^2 - 24x^3 + x^4)\,dx$ .
$\int_0^{12}(144x^2 - 24x^3 + x^4)\,dx = \left(48x^3 - 6x^4 + \frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^{12} = 82\,944 - 124\,416 + 49\,766{,}4 = 8294{,}4$ .
$V = 0{,}01\pi \cdot 8294{,}4 \approx 82{,}94\pi \approx 260{,}6$ cm³, а маса је $0{,}7 \cdot 260{,}6 \approx 182$ g.

Одговор: Вретено има запремину око 261 cm³ и масу око 182 g.

Задатак за вежбу

Израчунајте запремину тела које настаје обртањем дела параболе $y = 4x - x^2$ између њених нула око осе $x$ .

Прикажи решење

$V = \pi\int_0^4 (16x^2 - 8x^3 + x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1024}{3} - 512 + \frac{1024}{5}\right) = \frac{512\pi}{15} \approx 107{,}2$ .