Почетна Видео лекције Четврти разред средње школе Функције – асимптоте функција 3 Функције – асимптоте функција 3 Коса асимптота, дефиниција, једноставни и сложенији примери.
Задаци Текстови задатака објашњених у видео лекцији.
Одредити асимптоту графика функције:
пр.8) f ( x ) = x 3 ( 3 + x ) 2 f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} f ( x ) = ( 3 + x ) 2 x 3
f ( x ) = x 3 ( 3 + x ) 2 f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} f ( x ) = ( 3 + x ) 2 x 3
D f : ( 3 + x ) 2 ≠ 0 Df:{(3 + x)^2} \ne 0 D f : ( 3 + x ) 2 = 0
3 + x ≠ 0 3 + x \ne 0 3 + x = 0
x ≠ − 3 x \ne - 3 x = − 3
D f : R \ { − 3 } Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\} D f : R \ { − 3 }
B. A.:
lim x → − 3 − x 3 ( 3 + x ) 2 = ( − 3 − ) 3 ( 3 + ( − 3 − ) ) 2 = − 27 ( 0 − ) 2 = − 27 0 + = − ∞ lim x → − 3 + x 3 ( 3 + x ) 2 = ( − 3 + ) 3 ( 3 + ( − 3 + ) ) 2 = − 27 ( 0 + ) 2 = − 27 0 + = − ∞ \begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} = \frac{{{{\left( { - {3^ - }} \right)}^3}}}{{{{\left( {3 + \left( { - {3^ - }} \right)} \right)}^2}}} = \frac{{ - 27}}{{{{\left( {{0^ - }} \right)}^2}}} = \frac{{ - 27}}{{{0^ + }}} = - \infty \\ &\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3 + } \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} = \frac{{{{\left( { - {3^ + }} \right)}^3}}}{{{{\left( {3 + \left( { - {3^ + }} \right)} \right)}^2}}} = \frac{{ - 27}}{{{{\left( {{0^ + }} \right)}^2}}} = \frac{{ - 27}}{{{0^ + }}} = - \infty\end{aligned} x → − 3 − lim ( 3 + x ) 2 x 3 = ( 3 + ( − 3 − ) ) 2 ( − 3 − ) 3 = ( 0 − ) 2 − 27 = 0 + − 27 = − ∞ x → − 3 + lim ( 3 + x ) 2 x 3 = ( 3 + ( − 3 + ) ) 2 ( − 3 + ) 3 = ( 0 + ) 2 − 27 = 0 + − 27 = − ∞
B. A.: x = − 3 x = - 3 x = − 3
lim x → + ∞ x 3 ( 3 + x ) 2 = lim x → + ∞ x 3 x 3 ( 3 + x ) 2 x 2 ⋅ x = lim x → + ∞ 1 ( 3 + x x ) 2 ⋅ 1 x = = lim x → + ∞ 1 ( 3 x + 1 ) 2 ⋅ 1 x = 1 ( 0 + 1 ) 2 ⋅ 0 = 1 0 = ∞ \begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{{x^3}}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{{{(3 + x)}^2}}}{{{x^2} \cdot x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{{(\frac{{3 + x}}{x})}^2} \cdot \frac{1}{x}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{{(\frac{3}{x} + 1)}^2} \cdot \frac{1}{x}}} = \frac{1}{{{{\left( {0 + 1} \right)}^2} \cdot 0}} = \frac{1}{0} = \infty\end{aligned} x → + ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 3 = x → + ∞ lim x 2 ⋅ x ( 3 + x ) 2 x 3 x 3 = x → + ∞ lim ( x 3 + x ) 2 ⋅ x 1 1 = = x → + ∞ lim ( x 3 + 1 ) 2 ⋅ x 1 1 = ( 0 + 1 ) 2 ⋅ 0 1 = 0 1 = ∞
Нема десне Х. А.
lim x → − ∞ x 3 ( 3 + x ) 2 = lim t → + ∞ ( − t ) 3 ( 3 + ( − t ) ) 2 = lim t → + ∞ − t 3 ( 3 − t ) 2 = x = − t x → − ∞ t → + ∞ = lim t → + ∞ − t 3 t 3 ( 3 t − 1 ) 2 ⋅ 1 t = − 1 0 = − ∞ \begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^3}}}{{{{(3 + x)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{{{\left( { - t} \right)}^3}}}{{{{(3 + \left( { - t} \right))}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{ - {t^3}}}{{{{\left( {3 - t} \right)}^2}}} = \\ &x = - t \\ &x \to - \infty \\ &t \to + \infty \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{ - \frac{{{t^3}}}{{{t^3}}}}}{{{{\left( {\frac{3}{t} - 1} \right)}^2} \cdot \frac{1}{t}}} = \frac{{ - 1}}{0} = - \infty\end{aligned} x → − ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 3 = t → + ∞ lim ( 3 + ( − t ) ) 2 ( − t ) 3 = t → + ∞ lim ( 3 − t ) 2 − t 3 = x = − t x → − ∞ t → + ∞ = t → + ∞ lim ( t 3 − 1 ) 2 ⋅ t 1 − t 3 t 3 = 0 − 1 = − ∞
Нема леве Х. А.
К. А.: десна y = k x + n y = kx + n y = k x + n
k = lim x → ∞ f ( x ) x = lim x → ∞ x 3 ( 3 + x ) 2 x 1 = lim x → ∞ x 2 ( 3 + x ) 2 = lim x → ∞ x 2 : x 2 ( 3 + x ) 2 : x 2 = = lim x → ∞ 1 ( 3 x + x x ) 2 = 1 1 2 = 1 ⇒ k = 1 ‾ n = lim x → ∞ ( f ( x ) − k x ) = lim x → ∞ ( x 3 ( 3 + x ) 2 − x ) = lim x → ∞ x 3 − x ( 3 + x ) 2 ( 3 + x ) 2 = = lim x → ∞ x 3 − x ( 9 + 6 x + x 2 ) ( 3 + x ) 2 = lim x → ∞ ( x 3 − 9 x − 6 x 2 − x 3 ) : x 2 ( 3 + x ) 2 : x 2 = = lim x → ∞ − 9 x x 2 − 6 x 2 x 2 ( 3 x 2 + x x 2 ) 2 = − 6 1 2 = − 6 ⇒ n = − 6 ‾ \begin{aligned}&k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{x}{1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}:{x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}:{x^2}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{x} + \frac{x}{x}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} = 1 \Rightarrow \underline {k = 1} \\ & \\ &n = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} - x{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} - x\left( {9 + 6x + {x^2}} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {{x^3} - 9x - 6{x^2} - {x^3}} \right):{x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}:{x^2}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{ - 9x}}{{{x^2}}} - \frac{{6{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{x}{{{x^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 6}}{{{1^2}}} = - 6 \Rightarrow \underline {n = - 6}\end{aligned} k = x → ∞ lim x f ( x ) = x → ∞ lim 1 x ( 3 + x ) 2 x 3 = x → ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 2 = x → ∞ lim ( 3 + x ) 2 : x 2 x 2 : x 2 = = x → ∞ lim ( x 3 + x x ) 2 1 = 1 2 1 = 1 ⇒ k = 1 n = x → ∞ lim ( f ( x ) − k x ) = x → ∞ lim ( ( 3 + x ) 2 x 3 − x ) = x → ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 3 − x ( 3 + x ) 2 = = x → ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 3 − x ( 9 + 6 x + x 2 ) = x → ∞ lim ( 3 + x ) 2 : x 2 ( x 3 − 9 x − 6 x 2 − x 3 ) : x 2 = = x → ∞ lim ( x 2 3 + x 2 x ) 2 x 2 − 9 x − x 2 6 x 2 = 1 2 − 6 = − 6 ⇒ n = − 6
ДЕСНА К. А.: y = x − 6 y = x - 6 y = x − 6
К. А.: лева y = k x + n y = kx + n y = k x + n
k = lim x → − ∞ f ( x ) x = lim x → − ∞ x 3 ( 3 + x ) 2 x 1 = lim x → − ∞ x 2 ( 3 + x ) 2 = x = − t x → − ∞ t → + ∞ = lim t → ∞ t 2 ( 3 + t ) 2 = lim t → ∞ t 2 : t 2 ( 3 + t ) 2 : t 2 = lim t → ∞ 1 ( 3 t + t t ) 2 = 1 1 2 = 1 ⇒ k = 1 ‾ n = lim x → − ∞ ( f ( x ) − k x ) = lim t → ∞ 9 t − 6 ( − t ) 2 ( 3 − t ) 2 = lim t → ∞ ( 9 t − 6 t 2 ) : t 2 ( 3 − t ) 2 : t 2 = = lim t → ∞ 9 t t 2 − 6 t 2 t 2 ( 3 t 2 + t t 2 ) 2 = − 6 ( − 1 ) 2 = − 6 ⇒ n = − 6 ‾ \begin{aligned}&k = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{x}{1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \\ &x = - t \\ &x \to - \infty \\ &t \to + \infty \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {3 + t} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{t^2}:{t^2}}}{{{{\left( {3 + t} \right)}^2}:{t^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{t} + \frac{t}{t}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} = 1 \Rightarrow \underline {k = 1} \\ & \\ &n = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{9t - 6{{\left( { - t} \right)}^2}}}{{{{\left( {3 - t} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\left( {9t - 6{t^2}} \right):{t^2}}}{{{{\left( {3 - t} \right)}^2}:{t^2}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\frac{{9t}}{{{t^2}}} - \frac{{6{t^2}}}{{{t^2}}}}}{{{{\left( {\frac{3}{{{t^2}}} + \frac{t}{{{t^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = - 6 \Rightarrow \underline {n = - 6}\end{aligned} k = x → − ∞ lim x f ( x ) = x → − ∞ lim 1 x ( 3 + x ) 2 x 3 = x → − ∞ lim ( 3 + x ) 2 x 2 = x = − t x → − ∞ t → + ∞ = t → ∞ lim ( 3 + t ) 2 t 2 = t → ∞ lim ( 3 + t ) 2 : t 2 t 2 : t 2 = t → ∞ lim ( t 3 + t t ) 2 1 = 1 2 1 = 1 ⇒ k = 1 n = x → − ∞ lim ( f ( x ) − k x ) = t → ∞ lim ( 3 − t ) 2 9 t − 6 ( − t ) 2 = t → ∞ lim ( 3 − t ) 2 : t 2 ( 9 t − 6 t 2 ) : t 2 = = t → ∞ lim ( t 2 3 + t 2 t ) 2 t 2 9 t − t 2 6 t 2 = ( − 1 ) 2 − 6 = − 6 ⇒ n = − 6
ЛЕВА К. А.: y = x − 6 y = x - 6 y = x − 6
У к р а т к о Права y = k x + n y = kx + n y = k x + n x → + ∞ x \to +\infty x → + ∞ x → − ∞ x \to -\infty x → − ∞ k = lim x → ∞ f ( x ) x k = \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} k = lim x → ∞ x f ( x ) n = lim x → ∞ ( f ( x ) − k x ) n = \lim_{x \to \infty}(f(x) - kx) n = lim x → ∞ ( f ( x ) − k x ) k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 k = 0 k = 0 k = 0
Код рационалне функције коса асимптота постоји кад је степен бројиоца за један већи од степена имениоца, као код x 3 ( 3 + x ) 2 \frac{x^3}{(3 + x)^2} ( 3 + x ) 2 x 3 k = 1 k = 1 k = 1 n = − 6 n = -6 n = − 6
М е њ а ј т е б р з и н у и у б р з а в а њ е 20 40 60 80 100 120 140 −500 500 1000 1500 2000 2500 t (s) s (m) s(t) P Плава крива је пређени пут воза, а испрекидана права коса асимптота s = v t − v τ s = vt - v\tau s = v t − v τ k = v k = v k = v n = − v τ n = -v\tau n = − v τ τ \tau τ П р и м е р и з ж и в о т а Коса асимптота описује понашање на дуги рок: на графику пређеног пута она показује колико возило које постепено убрзава ка сталној брзини трајно заостаје за возилом које од почетка иде том брзином.
Воз креће из станице Воз креће из станице, а брзина му се приближава вредности од 20 m/s, односно 72 km/h. У једноставном моделу пређени пут после t t t s ( t ) = 20 ( t − 30 + 30 e − t 30 ) s(t) = 20\left(t - 30 + 30e^{-\frac{t}{30}}\right) s ( t ) = 20 ( t − 30 + 30 e − 30 t )
Решење k = lim t → ∞ s ( t ) t = lim t → ∞ 20 ( 1 − 30 t + 30 e − t 30 t ) = 20 k = \lim_{t \to \infty}\frac{s(t)}{t} = \lim_{t \to \infty} 20\left(1 - \frac{30}{t} + \frac{30e^{-\frac{t}{30}}}{t}\right) = 20 k = lim t → ∞ t s ( t ) = lim t → ∞ 20 ( 1 − t 30 + t 30 e − 30 t ) = 20 n = lim t → ∞ ( s ( t ) − 20 t ) = lim t → ∞ ( − 600 + 600 e − t 30 ) = − 600 n = \lim_{t \to \infty}(s(t) - 20t) = \lim_{t \to \infty}\left(-600 + 600e^{-\frac{t}{30}}\right) = -600 n = lim t → ∞ ( s ( t ) − 20 t ) = lim t → ∞ ( − 600 + 600 e − 30 t ) = − 600 e − t 30 → 0 e^{-\frac{t}{30}} \to 0 e − 30 t → 0 Коса асимптота је s = 20 t − 600 s = 20t - 600 s = 20 t − 600 Права s = 20 t s = 20t s = 20 t 600 20 = 30 \frac{600}{20} = 30 20 600 = 30 Одговор: Коса асимптота је s = 20 t − 600 s = 20t - 600 s = 20 t − 600
Задатак за вежбу Одредите асимптоте функције f ( x ) = x 2 + 3 x x − 1 f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x 2 + 3 x
Прикажи решење Вертикална: x = 1 x = 1 x = 1 k = lim x 2 + 3 x x 2 − x = 1 k = \lim\frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} = 1 k = lim x 2 − x x 2 + 3 x = 1 n = lim ( x 2 + 3 x x − 1 − x ) = lim 4 x x − 1 = 4 n = \lim\left(\frac{x^2 + 3x}{x - 1} - x\right) = \lim\frac{4x}{x - 1} = 4 n = lim ( x − 1 x 2 + 3 x − x ) = lim x − 1 4 x = 4 y = x + 4 y = x + 4 y = x + 4
