Функције – знак функције 2

Функције. Знак функције. Одређивање домена, нула и знака функције на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

пр.7) $y={\log _3}{(1-2x)}$

пр.8) $y={\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2x - 1}}{{2 - x}}$

пр.7)

$\begin{aligned}&Df:1 - 2x > 0 \\ &- 2x > - 1 \\ &x < \frac{1}{2} \\ &Df:x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\end{aligned}$

нуле:

$\begin{aligned}&y = 0 \\ &{\log _3}(1 - 2x) = 0 \\ &1 - 2x = 1 \\ &- 2x = 0 \\ &x = 0 \in Df\end{aligned}$

знак:

429 png

$\begin{aligned}&\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\underline {y < 0} }&{}&{0 < 1 - 2x < 1} \\ {}&{}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 - 2x > 0}&{}&{1 - 2x < 1} \\ { - 2x > - 1}&{}&{ - 2x < 0} \\ {x < \frac{1}{2}}&{}&{x > 0} \end{array}} \\ {}&{}&{x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)} \end{array} \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\underline {y > 0} }&{}&{1 - 2x > 1} \\ {}&{}&{ - 2x > 0} \\ {}&{}&{x < 0} \\ {}&{}&{x \in \left( { - \infty ;0} \right)} \end{array}\end{aligned}$

8)

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {Df:\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} > 0}& \cap &{2 - x \ne 0} \\ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {2x - 1 = 0}&{}&{2 - x \ne 0} \\ {2x = 1}&{}&{x \ne 2} \\ {x = \frac{1}{2}}&{}&{} \end{array}}&{}&{x \ne 2} \\ {}&{}&{} \end{array}$

430 png

$Df:x \in \left( {\frac{1}{2};2} \right)$

нуле:

$\begin{aligned}&y = 0 \\ &{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} = 0 \\ &\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} = 1 \\ &\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} - 1 = 0 \\ &\frac{{2x - 1 - \left( {2 - x} \right)}}{{2 - x}} = 0 \\ &\frac{{2x - 1 - 2 + x}}{{2 - x}} = 0 \\ &\frac{{3x - 3}}{{2 - x}} = 0 \\ &3x - 3 = 0 \\ &x = 1 \in Df\end{aligned}$

знак:

431 png

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\underline {y > 0} }&{}&{0 < \frac{{2x - 1}}{{2 - x}} < 1} \\ {}&{}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} > 0 \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {2x - 1 = 0}&{}&{2 - x \ne 0} \\ {2x = 1}&{}&{x \ne 2} \\ {x = \frac{1}{2}}&{}&{} \end{array}\end{aligned} &\begin{aligned}&\cap\end{aligned} &\begin{aligned}&\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} < 1 \\ &\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} - 1 < 0 \\ &\frac{{2x - 1 - 2 + x}}{{2 - x}} < 0 \\ &\frac{{3x - 3}}{{2 - x}} < 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {3x - 3 = 0}&{}&{2 - x \ne 0} \\ {x = 1}&{}&{x \ne 2} \end{array}\end{aligned} \end{array}} \end{array}$

432 png

433 png

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {y < 0}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} > 1 \\ &\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} - 1 > 0 \\ &\frac{{2x - 1 - 2 + x}}{{2 - x}} > 0 \\ &\frac{{3x - 3}}{{2 - x}} > 0 \\ &x \in \left( {1;2} \right)\end{aligned} \end{array}$

Знак логаритамске функције зависи од основе. За основу $a > 1$ , као код $\log_3$ , важи $\log_a A > 0$ кад је $A > 1$ , а $\log_a A < 0$ кад је $0 < A < 1$ . За основу $0 < a < 1$ , као код $\log_{\frac{1}{2}}$ , знаци су обрнути: функција је позитивна кад је $0 < A < 1$ .

Поступак: одредите домен из услова $A > 0$ , нађите нулу из $A = 1$ , па решите неједначине $0 < A < 1$ и $A > 1$ . Код $\log_3(1 - 2x)$ домен је $x < \frac{1}{2}$ , нула је $x = 0$ , а функција је негативна за $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ и позитивна за $x < 0$ . Честа грешка је да се код основе мање од 1 не обрну знаци.

Основа a3

Тачка x₀0,5

logₐ x₀: −0,631

За основу већу од 1 график је испод осе

x

за

0 < x < 1

, а изнад ње за

x > 1

. Спустите основу испод 1: график се преврне преко осе

x

и знаци се замене. Нула је увек у

x = 1

, а за

a = 1

логаритам не постоји.

Логаритам са основом мањом од 1 јавља се кад се нешто преполовљава у једнаким временским размацима: археолози њиме одређују старост налаза методом угљеника-14, а лекари колико дуго лек остаје у организму.

Старост археолошког налаза

Количина угљеника-14 у остацима живог бића преполови се сваких 5730 година. Ако је $r$ однос количине угљеника-14 у узорку и у живом дрвету, старост узорка у годинама је $t(r) = 5730\log_{\frac{1}{2}} r$ . Одредите домен, нулу и знак функције $t$ и објасните их, па израчунајте старост угљенисаног дрвета са неолитског налазишта за које је измерено $r = 0{,}41$ .

Решење

Домен: $r > 0$ . Нула: $\log_{\frac{1}{2}} r = 0$ за $r = 1$ , кад узорак има исто угљеника-14 као живо дрво, па му је старост нула.
Основа $\frac{1}{2}$ мања је од 1, па је $t > 0$ кад је $0 < r < 1$ , а $t < 0$ кад је $r > 1$ .
Сваки стваран узорак има $0 < r < 1$ и позитивну старост. Резултат $r > 1$ дао би негативну старост, што значи да је мерење погрешно или да је узорак загађен.
За $r = 0{,}41$ : $t = 5730 \cdot \frac{\ln 0{,}41}{\ln 0{,}5} \approx 5730 \cdot 1{,}286 \approx 7370$ година.

Одговор: Функција је позитивна за $0 < r < 1$ , а негативна за $r > 1$ ; дрво са $r = 0{,}41$ старо је око 7370 година.

Задатак за вежбу

Одредите домен, нулу и знак функције $y = \log_{\frac{1}{3}}(2x - 4)$ .

Прикажи решење

Домен: $2x - 4 > 0$ , тј. $x > 2$ . Нула: $2x - 4 = 1$ , $x = \frac{5}{2}$ . Основа је мања од 1, па је $y > 0$ за $x \in \left(2, \frac{5}{2}\right)$ , а $y < 0$ за $x > \frac{5}{2}$ .