Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – испитивање функција 1

Испитивање тока и цртање графика функције. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Испитати функцију f(x)=xx2−1f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}.

Пр.1)  

1. Домен функције                Df:  x2−1≠0{x^2} - 1 \ne 0

(x−1)(x+1)≠0x−1≠0∧x+1≠0x≠1x≠−1\begin{aligned}&\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 1 \ne 0}&{}& \wedge &{x + 1 \ne 0} \\ {x \ne 1}&{}&{}&{x \ne - 1} \end{array}\end{aligned}

Df:R\{−1;1}Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}

2. Нуле функције

f(x)=0f\left( x \right) = 0

xx2−1=0\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0

x=0x = 0

A(0;0)A\left( {0;0} \right)


3. Пресек са y-осом

x=0;y=0x = 0;y = 0

A(0;0)A\left( {0;0} \right)


4. Знак функције

xx2−1=0\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0

x=0;x≠±1x = 0;x \ne \pm 1

462 png

y>0y > 0    x∈(−1;0)∪(1;+∞)x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)

y<0y < 0    x∈(−∞;−1)∪(0;1)x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)


5. Парност

f(x)=xx2−1f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}

f(−x)=−x(−x)2−1=−xx2−1=−f(x)f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} - 1}} = - \frac{x}{{{x^2} - 1}} = - f\left( x \right) непарна функција


6. Асимптоте

В.А.

lim⁡x→−1−xx2−1=−1(−1−)2−1=−11+−1=−10+=−∞\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ + } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ + }}} = - \infty

lim⁡x→−1+xx2−1=−1(−1+)2−1=−11−−1=−10−=+∞\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ - } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ - }}} = + \infty

lim⁡x→1−xx2−1=1(1−)2−1=11−−1=10−=−∞\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ - } - 1}} = \frac{1}{{{0^ - }}} = - \infty

lim⁡x→1+xx2−1=1(1+)2−1=11+−1=10+=+∞\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ + } - 1}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty

Х.А.

lim⁡x→∞x:x2(x2−1):x2=lim⁡x→∞xx2x2x2−1x2=11−0=01=0\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x:{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 1} \right):{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{{1 - 0}} = \frac{0}{1} = 0

хоризонтална асимптота је y=0y = 0


7. Монотоност и екстремне вредности

f(x)=xx2−1f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}

f′(x)=x′(x2−1)−x(x2−1)′(x2−1)2=x2−1−x⋅2x(x2−1)2=−x2−1(x2−1)2f'\left( x \right) = \frac{{x'\left( {{x^2} - 1} \right) - x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 1 - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}

−x2−1(x2−1)2=0\frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = 0

x≠±1x \ne \pm 1

463 png


8. Конвексност и превојне тачке

f(x)=xx2−1f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}

f′(x)=−x2−1(x2−1)2f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}

f′′(x)=(−x2−1)′(x2−1)2−((x2−1)2)′(−x2−1)(x2−1)4=−2x(x2−1)2−2⋅(x2−1)⋅2x(−x2−1)(x2−1)4=f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 1} \right)}^\prime }{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2x\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} =

=−2x(x2−1)(x2−1+2(−x2−1))(x2−1)4=−2x(x2−1+2(−x2−1))(x2−1)3=2x(x2+3)(x2−1)3= \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}

2x(x2+3)(x2−1)3=0\frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = 0

x=0;x≠±1x = 0;x \ne \pm 1

464 png

превојна тачка је P(0;0)P\left( {0;0} \right)


9. График функције

461 png

Испитивање функције иде утврђеним редом: домен, нуле, пресек са yy-осом, знак, парност, асимптоте, монотоност и екстремуми, конвексност и превојне тачке, а тек онда график. За f(x)=xx2−1f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} домен је R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, па су x=±1x = \pm 1 вертикалне асимптоте: проверите граничне вредности слева и здесна. Хоризонтална асимптота је y=0y = 0, јер је степен имениоца већи. Пошто је f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), функција је непарна, па је график симетричан у односу на координатни почетак. Извод f′(x)=−x2+1(x2−1)2f'(x) = -\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} увек је негативан, па екстремума нема, а превојна тачка је (0,0)(0, 0).

Сваки резултат проверите на скици: график мора да се слаже са таблицом знака.

10020030040050050100150200250a (mm)b (mm)
550 mm
Слика b(a)
55 mm
b′(a)
−0,01
Померање објектива b − 50
5 mm
Превлачите предмет: што је ближи жижи a=50a = 50 mm, слика бежи у бесконачност (вертикална асимптота), а за веома далеке предмете bb тежи броју 50 (хоризонтална асимптота). Функција све време опада и конвексна је.

Испитивањем функције инжењери унапред виде понашање система у целини: где величина расте преко сваке границе, чему тежи на дуге стазе и где је највећа, на пример код сочива, електричних кола или модела трошкова.

Изоштравање објектива

За објектив жижне даљине 50 mm предмет удаљен aa милиметара даје оштру слику на растојању b(a)=50aa−50b(a) = \frac{50a}{a - 50} милиметара иза објектива. Испитајте ову функцију за a>50a > 50 и израчунајте за колико треба померити објектив кад са веома удаљеног предмета пређете на предмет удаљен 55 cm.

Решење

  1. Домен је a≠50a \ne 50, а физички смисао има a>50a > 50. Тада је b>0b > 0, па нула нема.
  2. Асимптоте: lim⁡a→50+b(a)=+∞\lim_{a \to 50^+} b(a) = +\infty, па је a=50a = 50 вертикална, а lim⁡a→∞b(a)=50\lim_{a \to \infty} b(a) = 50, па је b=50b = 50 хоризонтална асимптота.
  3. b′(a)=50(a−50)−50a(a−50)2=−2500(a−50)2<0b'(a) = \frac{50(a - 50) - 50a}{(a - 50)^2} = -\frac{2500}{(a - 50)^2} < 0: функција стално опада и нема екстремума.
  4. b′′(a)=5000(a−50)3>0b''(a) = \frac{5000}{(a - 50)^3} > 0 за a>50a > 50, па је график конвексан и без превојних тачака.
  5. За веома удаљен предмет b≈50b \approx 50 mm, а за a=550a = 550 mm је b=27 500500=55b = \frac{27\,500}{500} = 55 mm.

Одговор: Слика је увек иза жиже и приближава јој се док се предмет удаљава; за предмет на 55 cm објектив треба померити за 5 mm.

Задатак за вежбу

Испитајте функцију f(x)=x2x2−4f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}: домен, парност, асимптоте, екстремуме и превојне тачке.

Прикажи решење

Домен је R∖{−2,2}\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, функција је парна, вертикалне асимптоте су x=±2x = \pm 2, а хоризонтална y=1y = 1. Из f′(x)=−8x(x2−4)2f'(x) = -\frac{8x}{(x^2 - 4)^2} следи максимум (0,0)(0, 0). Други извод f′′(x)=8(3x2+4)(x2−4)3f''(x) = \frac{8(3x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^3} нема нула, па превојне тачке нема.