Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Неодређени интеграли – метода смене 6

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.22)   Решити ∫dx1−x2arcsin⁡4x\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} {{\arcsin }^4}x}}}

Пр.23)   ∫x−arctgx1+x2dx\int {\frac{{x - arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx

Пр.24)   ∫ln⁡3xxln⁡9xdx\int {\frac{{\ln 3x}}{{x\ln 9x}}} dx

Пр.22)   ∫dx1−x2arcsin⁡4x=\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} {{\arcsin }^4}x}}}=

arcsin⁡x=t\arcsin x = t

11−x2dx=dt\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = dt

=∫dtt4=∫t−4dt=t−3−3+C=1−3arcsin⁡3x+C= \int {\frac{{dt}}{{{t^4}}}} = \int {{t^{ - 4}}} dt = \frac{{{t^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = \frac{1}{{ - 3{{\arcsin }^3}x}} + C

Пр.23)   ∫x−arctgx1+x2dx=\int {\frac{{x - arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx=

arc⁡tgx=t⇒x=tgt\operatorname{arc} tgx = t \Rightarrow x = tgt

11+x2dx=dt\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx = dt

=∫(tgt−t)dt=∫tgtdt−∫tdt=∫sin⁡tcos⁡tdt−t22+C== \int {\left( {tgt - t} \right)} dt = \int {tgt} dt - \int t dt = \int {\frac{{\sin t}}{{\cos t}}} dt - \frac{{{t^2}}}{2} + C =

cos⁡t=s\cos t = s

−sintdt⁡=ds- \operatorname{sintdt} = ds

sintdt⁡=−ds\operatorname{sintdt} = - ds

=∫−dss−t22+C=−ln⁡∣s∣−t22+C=−ln⁡∣cos⁡t∣−t22+C== \int {\frac{{ - ds}}{s}} - \frac{{{t^2}}}{2} + C = - \ln \left| s \right| - \frac{{{t^2}}}{2} + C = - \ln \left| {\cos t} \right| - \frac{{{t^2}}}{2} + C =

=−ln⁡∣cos⁡(arc⁡tgx)∣−arc⁡tg2x2+C= - \ln \left| {\cos \left( {\operatorname{arc} tgx} \right)} \right| - \frac{{\operatorname{arc} t{g^2}x}}{2} + C

Пр.24)   ∫ln⁡3xxln⁡9xdx=∫ln⁡3xx(ln⁡3+ln⁡3x)dx=\int {\frac{{\ln 3x}}{{x\ln 9x}}} dx = \int {\frac{{\ln 3x}}{{x\left( {\ln 3 + \ln 3x} \right)}}} dx =

ln⁡3x=t\ln 3x = t

13x⋅(3x)dx=dt\frac{1}{{3x}} \cdot \left( {3x} \right)dx = dt

13x3dx=dt\frac{1}{{3x}}3dx = dt

=∫tln⁡3+tdt=∫t+ln⁡3−ln⁡3ln⁡3+tdt=∫t+ln⁡3ln⁡3+tdt−∫ln⁡3ln⁡3+tdt== \int {\frac{t}{{\ln 3 + t}}} dt = \int {\frac{{t + \ln 3 - \ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt = \int {\frac{{t + \ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt - \int {\frac{{\ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt =

=t−ln⁡3∫1ln⁡3+tdt== t - \ln 3\int {\frac{1}{{\ln 3 + t}}} dt =

ln⁡3+t=s\ln 3 + t = s

dt=dsdt = ds

=t−ln⁡3∫ds3=t−ln⁡3⋅ln⁡∣s∣+C=t−ln⁡3⋅ln⁡∣ln⁡3+t∣+C== t - \ln 3\int {\frac{{ds}}{3}} = t - \ln 3 \cdot \ln \left| s \right| + C = t - \ln 3 \cdot \ln \left| {\ln 3 + t} \right| + C =

=ln⁡3x−ln⁡3⋅ln⁡∣ln⁡3+ln⁡3x∣+C= \ln 3x - \ln 3 \cdot \ln \left| {\ln 3 + \ln 3x} \right| + C

Кад се у подинтегралној функцији појављује ln⁡x\ln x, arcsin⁡x\arcsin x или arctg⁡x\operatorname{arctg} x заједно са својим изводом, смена је сама та функција. Парове треба препознати: (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}, (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} и (arctg⁡x)′=11+x2(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}. Тако ∫dxxln⁡x\int \frac{dx}{x\ln x} сменом t=ln⁡xt = \ln x постаје ∫dtt=ln⁡∣ln⁡x∣+C\int \frac{dt}{t} = \ln|\ln x| + C. Понекад интеграл прво раставите на два: ∫x+arctg⁡x1+x2 dx\int \frac{x + \operatorname{arctg} x}{1 + x^2}\,dx је збир интеграла ∫x dx1+x2\int \frac{x\,dx}{1 + x^2} и ∫arctg⁡x1+x2 dx\int \frac{\operatorname{arctg} x}{1 + x^2}\,dx. Логаритме сложених аргумената поједноставите правилом ln⁡(ax)=ln⁡a+ln⁡x\ln(ax) = \ln a + \ln x.

Пре смене проверите да ли је извод функције заиста ту, макар до константе: у ∫ln⁡2xx dx\int \frac{\ln^2 x}{x}\,dx јесте, а у ∫ln⁡2x dx\int \ln^2 x\,dx није, па ту смена не помаже и потребна је парцијална интеграција. После прве смене често је потребна још једна. Резултат проверите извођењем.

24681012204060801000t (h)x (%)циљx(t)
50%
Време од 10% до циља
2,4 h
У минутима
144 min
Крива показује раст колоније која у t=0t = 0 има 10% највеће величине. Зелена тачка је у тренутку T=2ln⁡ln⁡10∣ln⁡x∣T = 2\ln\frac{\ln 10}{|\ln x|}, који смо добили сменом t=ln⁡xt = \ln x. Раст је најбржи око 37%, где је x=1ex = \frac{1}{e}.

Биолози и лекари Гомперцовим моделом описују раст ћелијских култура и тумора, а време потребно за неки раст из њега се рачуна баш сменом t=ln⁡xt = \ln x.

Раст колоније бактерија

Колонија бактерија у лабораторији расте све спорије што је ближа највећој величини коју хранљива подлога може да одржи. Нека је xx величина колоније као део те највеће (0<x<10 < x < 1). По поједностављеном Гомперцовом моделу, за мали пораст dxdx колонији треба време dT=−2 dxxln⁡xdT = -\frac{2\,dx}{x\ln x} сати; то време је позитивно, јер је ln⁡x<0\ln x < 0. Колико времена треба да колонија нарасте са 10% на 50% највеће величине?

Решење

  1. Време до удела xx је T(x)=−2∫dxxln⁡xT(x) = -2\int \frac{dx}{x\ln x}. Уз ln⁡x\ln x стоји његов извод 1x\frac{1}{x}, па уводимо t=ln⁡xt = \ln x и dt=dxxdt = \frac{dx}{x}.
  2. T=−2∫dtt=−2ln⁡∣t∣+C=−2ln⁡∣ln⁡x∣+CT = -2\int \frac{dt}{t} = -2\ln|t| + C = -2\ln|\ln x| + C.
  3. Тражено време је T(0,5)−T(0,1)T(0{,}5) - T(0{,}1), у ком се CC скрати. Пошто је ∣ln⁡0,5∣=ln⁡2|\ln 0{,}5| = \ln 2 и ∣ln⁡0,1∣=ln⁡10|\ln 0{,}1| = \ln 10, оно износи −2ln⁡(ln⁡2)+2ln⁡(ln⁡10)=2ln⁡ln⁡10ln⁡2-2\ln(\ln 2) + 2\ln(\ln 10) = 2\ln\frac{\ln 10}{\ln 2}.
  4. ln⁡10ln⁡2≈3,32\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32, па је време 2ln⁡3,32≈2,402\ln 3{,}32 \approx 2{,}40 h.

Одговор: Колонија нарасте са 10% на 50% највеће величине за око 2,4 сата, то јест за око 2 сата и 24 минута.

Задатак за вежбу

Израчунајте ∫arctg⁡2x1+x2 dx\int \frac{\operatorname{arctg}^2 x}{1 + x^2}\,dx.

Прикажи решење

Смена t=arctg⁡xt = \operatorname{arctg} x, dt=dx1+x2dt = \frac{dx}{1 + x^2}: ∫t2 dt=t33+C=arctg⁡3x3+C\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{\operatorname{arctg}^3 x}{3} + C.