Функције – извод имплицитне функције 2

Извод имплицитно задате функције. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.6) Одредити извод функције:

$y = {x^x}$

Пр.7) $y = {x^{{x^x}}}$

Пр.8) $y = x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}$

Пр.6) $y = {x^x}$

$y = {x^x}/\ln$
$\ln y = \ln {x^x}$
$\ln y = x\ln x/'$
$\frac{1}{y}y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$
$y' = y\left( {\ln x + 1} \right)$
$y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right)$

Пр.7) $y = {x^{{x^x}}}$

$y = {x^{{x^x}}}/\ln$
$\ln y = \ln {x^{{x^x}}}$
$\ln y = {x^x}\ln x/'$
$\frac{1}{y}y' = \left( {{x^x}} \right) \cdot \ln x + {x^x} \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{1}{y}y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^x} \cdot {x^{ - 1}}$
$y' = y\left( {{x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^{x - 1}}} \right)$
$y' = {x^{{x^x}}}\left( {{x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^{x - 1}}} \right)$

Пр.8) $y = x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}$

$y' = 1x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}} + x\left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right)$
$t = {\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}/\ln$
$\ln t = \ln \left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right)$
$\ln t = \left( {1 - \cos x} \right)\ln \left( {\ln x} \right)/'$
$\frac{1}{t}t' = {\left( {1 - \cos x} \right)^\prime }\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right){\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)^\prime }$
$\frac{1}{t}t' = \left( {0 + \sin x} \right)\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{\ln x}}{\left( {\ln x} \right)^\prime }$
$t' = t\left( {sinx\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{x\ln x}}} \right)$
$t' = {\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}\left( {\sin x\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{x\ln x}}} \right)$
$y' = 1x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}} + x\left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right) \cdot \left( {\sin x\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{{1 - \cos x}}{{x\ln x}}} \right)$

Кад је променљива и у основи и у изложиоцу, $y = u(x)^{v(x)}$ , не важи ни правило за степен ни правило за експоненцијалну функцију. Тада обе стране логаритмујете, $\ln y = v \ln u$ , и добијену имплицитну везу диференцирате по $x$ , имајући на уму да је $y$ функција од $x$ : извод леве стране је $\frac{y'}{y}$ . Добијате $\frac{y'}{y} = v' \ln u + v \frac{u'}{u}$ , а затим помножите са $y$ . Тако је $\left(x^x\right)' = x^x(\ln x + 1)$ , а за $x^{x^x}$ поступак примените два пута.

Ако је такав степен само чинилац, као у $x(\ln x)^{1 - \cos x}$ , примените правило производа, а извод степена нађите посебно, преко помоћне функције. Честа грешка је $\left(x^x\right)' = x \cdot x^{x - 1}$ : то правило важи само за стални изложилац.

Број обрачуна n12

Износ K(n): 106.167,78 дин.
Логаритамски извод K′/K: 0,000012
Извод K′(n): 1,32 дин.

Нагиб тангенте је

K'(n)

, добијен логаритамским изводом. Како

n

расте, тангента се изравнава, а износ се приближава граници

100\,000 \cdot e^{0{,}06} \approx 106\,183{,}65

динара за непрекидни обрачун.

Логаритамски извод $\frac{y'}{y}$ је релативна брзина промене: економисти њиме рачунају стопе раста и еластичност тражње, а инжењери релативну грешку величине која је производ или степен измерених величина.

Чешћи обрачун камате

Банка на штедњу од 100.000 динара даје годишњу камату од 6% и обрачунава је $n$ пута годишње, па је после године на рачуну $K(n) = 100\,000\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right)^n$ динара. Ако $n$ посматрамо као непрекидну променљиву, извод $K'(n)$ отприлике показује колико доноси један обрачун више. Израчунајте $K(12)$ и $K'(12)$ .

Решење

Променљива $n$ је и у основи и у изложиоцу, па логаритмујемо: $\ln K = \ln 100\,000 + n \ln\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right)$ .
Диференцирамо по $n$ , десну страну по правилу производа: $\frac{K'}{K} = \ln\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right) + n \cdot \frac{1}{1 + \frac{0{,}06}{n}} \cdot \left(-\frac{0{,}06}{n^2}\right) = \ln\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right) - \frac{0{,}06}{n + 0{,}06}$ .
За $n = 12$ износ је $K(12) = 100\,000 \cdot 1{,}005^{12} \approx 106\,167{,}78$ динара.
Логаритамски извод је $\ln 1{,}005 - \frac{0{,}06}{12{,}06} \approx 0{,}00498754 - 0{,}00497512 = 0{,}00001242$ , па је $K'(12) \approx 106\,167{,}78 \cdot 0{,}00001242 \approx 1{,}32$ динара.
Поређења ради, $K'(1) = 106\,000\left(\ln 1{,}06 - \frac{0{,}06}{1{,}06}\right) \approx 176{,}50$ : код годишњег обрачуна износ брзо расте са бројем обрачуна, а код месечног готово стоји. Извод је само процена: тачно је $K(13) - K(12) \approx 1{,}22$ динара.

Одговор: После године на рачуну је око 106.167,78 динара, а $K'(12) \approx 1{,}32$ динара: још један обрачун годишње донео би тек нешто више од једног динара.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције $y = x^{\sin x}$ , $x > 0$ , и израчунајте $y'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ .

Прикажи решење

$\ln y = \sin x \ln x$ , па је $\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$ и $y' = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$ . За $x = \frac{\pi}{2}$ : $y' = \frac{\pi}{2}\left(0 + \frac{2}{\pi}\right) = 1$ .