Функције – понављање градива 1

Функције. Понављање градива. Линеарна и квадратна функција.

Линеарна функција $y = kx + n$ има за график праву: $k$ је коефицијент правца, а $n$ одсечак на оси $y$ . За $k > 0$ функција расте, за $k < 0$ опада, а нула јој је $x = -\frac{n}{k}$ .

Квадратна функција $y = ax^2 + bx + c$ , $a \ne 0$ , има за график параболу, окренуту навише за $a > 0$ , а наниже за $a < 0$ . Теме је $T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$ и у њему функција достиже најмању, односно највећу вредност. Нуле су $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ , где је $D = b^2 - 4ac$ : за $D > 0$ постоје две нуле, за $D = 0$ једна, а за $D < 0$ ниједна. Честа грешка је изгубљен знак минус у $-\frac{b}{2a}$ .

a1

b−2

c−3

Дискриминанта D: 16
Теме: x: 1
Теме: y: −4

За

a > 0

парабола је окренута навише, за

a < 0

наниже, а за

a = 0

постаје права

y = bx + c

, график линеарне функције. Пратите дискриминанту: кад постане негативна, парабола више не сече осу

x

.

Линеарном функцијом описује се рачун за телефон или такси, фиксни део плус цена по минуту или километру, а квадратном путања лопте и приход који зависи од цене производа.

Цена карте за представу

Позориште по цени од 1000 динара прода 400 карата за представу. Процена је да ће сваким поскупљењем од 100 динара продати 20 карата мање, па је број продатих карата линеарна функција цене $p$ : $q(p) = 600 - 0{,}2p$ . По којој цени ће приход од карата бити највећи и колики ће бити?

Решење

Провера модела: $q(1000) = 600 - 200 = 400$ , а коефицијент правца $k = -0{,}2$ значи 20 карата мање на сваких 100 динара поскупљења.
Приход је цена пута број карата: $R(p) = p(600 - 0{,}2p) = -0{,}2p^2 + 600p$ . То је квадратна функција са $a = -0{,}2 < 0$ , па највећу вредност има у темену.
Апсциса темена је $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{600}{2 \cdot (-0{,}2)} = 1500$ динара.
Тада се прода $q(1500) = 600 - 300 = 300$ карата, а приход је $R(1500) = 1500 \cdot 300 = 450\,000$ динара.

Одговор: Приход је највећи по цени од 1500 динара: прода се 300 карата и заради 450.000 динара.

Задатак за вежбу

Одредите нуле функција $f(x) = 2x - 4$ и $g(x) = x^2 - 2x - 3$ , као и теме параболе $g$ .

Прикажи решење

$f$ : из $2x - 4 = 0$ је $x = 2$ . $g$ : $D = 4 + 12 = 16$ , $x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2}$ , па су нуле $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ , а теме је $T(1, -4)$ .