Интеграција рационалних функција 3

Интеграли. Особине интеграла. Интеграција рационалних функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3) Решити $\int {\frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}}} dx$

Пр.3) $\int {\frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}}} =dx$

$\frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x - 1}} + \frac{C}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =$

$= \frac{{A{{\left( {x - 1} \right)}^2} + Bx\left( {x - 1} \right) + Cx}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$2{x^2} - 5x + 1 = A{\left( {x - 1} \right)^2} + Bx\left( {x - 1} \right) + Cx =$

$= A\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + B{x^2} - Bx + Cx = A{x^2} - 2Ax + A + B{x^2} - Bx + Cx =$

$= \left( {A + B} \right){x^2} + \left( { - 2A - B + C} \right)x + A$

$\left\{ \begin{aligned}&A + B = 2 \\ &- 2A - B + C = - 5 \\ &A = 1\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&1 + B = 2 \\ &- 2A - B + C = - 5 \\ &A = 1\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&B = 1 \\ &C = - 2 \\ &A = 1\end{aligned} \right.$

$= \int {\frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}}} dx = \int {\left( {\frac{A}{x} + \frac{B}{{x - 1}} + \frac{C}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)} dx =$

$= \int {\frac{1}{x}dx + } \int {\frac{1}{{x - 1}}dx + } \int {\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} =$

$x - 1 = t$

$dx = dt$

$= \ln \left| x \right| + \ln \left| t \right| - 2\int {{t^{ - 2}}} dt = \ln \left| x \right| + \ln \left| t \right| - 2\frac{{{t^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C =$

$= \ln \left| x \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + 2\frac{1}{{x - 1}} + C = \ln \left| {x\left( {x - 1} \right)} \right| + 2\frac{1}{{x - 1}} + C$

Ако се у имениоцу чинилац понавља, на пример $(x - a)^2$ , за њега се пишу два разломка, $\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2}$ , а за $(x - a)^3$ три. Тако је $\frac{P(x)}{x(x - 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B_1}{x - 1} + \frac{B_2}{(x - 1)^2}$ . Уврштавањем нула $x = 0$ и $x = 1$ добијате $A$ и $B_2$ , а преосталу константу поређењем коефицијената уз највиши степен. Разломак са квадратом не даје логаритам, већ степен: $\int \frac{dx}{(x - a)^2} = -\frac{1}{x - a} + C$ , јер је то $\int (x - a)^{-2}\,dx$ . Зато се у резултату појављују и логаритми и разломци.

Најчешћа грешка је да се за поновљени чинилац напише само један разломак; тада систем за константе нема решења. Број константи мора бити једнак степену имениоца.

Крајњи отпор R₂5 Ω

Топлота: 2,5 · површина: 275,5 J
По формули: 275,5 J
Трајање: 10 s

Крива је снага

P(R) = \frac{144R}{(R + 1)^2}

; највећа је, 36 W, кад је отпор реостата једнак унутрашњем отпору батерије, 1 Ω. Топлота је површина испод криве од 1 до

R_2

помножена са 2,5, јер отпор расте 0,4 Ω у секунди.

Снага коју извор напона $U$ и унутрашњег отпора $r$ предаје потрошачу отпора $R$ је $\frac{U^2R}{(R + r)^2}$ , рационална функција са двоструким чиниоцем у имениоцу; кад се $R$ мења, енергија се рачуна баш оваквим интегралом.

Реостат у кабинету физике

Ученици у кабинету физике прикључују реостат на батерију напона 12 V и унутрашњег отпора 1 Ω. За 10 s равномерно повећају отпор реостата од 1 Ω до 5 Ω, па је $R = 1 + 0{,}4t$ . Снага у реостату је $P = I^2R = \frac{144R}{(R + 1)^2}$ W. Колико се топлоте за то време ослободи у реостату?

Решење

Отпор расте 0,4 Ω у секунди, па док порасте за мало $dR$ протекне $dt = 2{,}5\,dR$ и ослободи се топлота $dW = P\,dt = \frac{360R\,dR}{(R + 1)^2}$ . Зато је $W(R) = 360\int \frac{R\,dR}{(R + 1)^2}$ , уз $W(1) = 0$ .
Двоструки чинилац: $\frac{R}{(R + 1)^2} = \frac{A_1}{R + 1} + \frac{A_2}{(R + 1)^2}$ , тј. $R = A_1(R + 1) + A_2$ . Поређењем: $A_1 = 1$ и $A_1 + A_2 = 0$ , па је $A_2 = -1$ .
$W(R) = 360\int\left(\frac{1}{R + 1} - \frac{1}{(R + 1)^2}\right)dR = 360\left(\ln(R + 1) + \frac{1}{R + 1}\right) + C$ .
Из $W(1) = 0$ следи $C = -360\left(\ln 2 + \frac{1}{2}\right)$ , па је $W(5) = 360\left(\ln 6 + \frac{1}{6} - \ln 2 - \frac{1}{2}\right) = 360\left(\ln 3 - \frac{1}{3}\right) \approx 275{,}5$ J.

Одговор: У реостату се за 10 s ослободи око 275,5 J топлоте.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{3x + 1}{x(x + 1)^2}\,dx$ .

Прикажи решење

$\frac{3x + 1}{x(x + 1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}$ , па је интеграл $\ln|x| - \ln|x + 1| - \frac{2}{x + 1} + C = \ln\left|\frac{x}{x + 1}\right| - \frac{2}{x + 1} + C$ .