Неодређени интеграли 2

Интеграли. Особине интеграла. Примери табличних интеграла. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити:

Пр.9) $\int {\frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{{{\sin }^2}x}}} dx$

Пр.10) $\int {\left( {8{x^3} - 3{x^2}} \right)} dx$

Пр.11) $\int {\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}{{{x^3}}}} dx$

Пр.12) $\int {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt[3]{x}}}} dx$

Пр.9) $\int {\frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \int {\frac{{\frac{1}{2}}}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \frac{1}{2}ctgx + C$

Пр.10) $\int {\left( {8{x^3} - 3{x^2}} \right)} dx = \int {8{x^3}} dx - \int {3{x^2}} dx = 8\int {{x^3}} dx - 3\int {{x^2}} dx = 8 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} - 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C =$

$=8 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} - 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C =2{x^4} - {x^3} + C$

Пр.11) $\int {\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}{{{x^3}}}} dx = \int {\frac{{1 - 2{x^2} + {x^4}}}{{{x^3}}}} dx = \int {(\frac{1}{{{x^3}}}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3}}} + \frac{{{x^4}}}{{{x^3}}})dx =$

$= \int {{x^{ - 3}}} dx - \int {\frac{2}{x}} dx + \int {xdx} = \int {{x^{ - 3}}} dx - 2\int {\frac{1}{x}} dx + \int {xdx} =$

$= \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} - 2\ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\int {{x^{ - 3}}} + c$

Пр.12) $\int {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt[3]{x}}}} dx = \int {\frac{{x - x\sqrt x - \sqrt x + x}}{{\sqrt[3]{x}}}} dx = \int {\frac{{2x - x \cdot {x^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} dx =$

$= \int {\left( {\frac{{2x}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} - \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} - \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} \right)} dx = \int {\frac{{2x}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}dx - } \int {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}dx - } \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} dx = \int {2{x^{\frac{2}{3}}}} - {x^{\frac{7}{6}}} - {x^{\frac{1}{6}}}dx =$

$= \int {2{x^{\frac{2}{3}}}} dx - \int {{x^{\frac{7}{6}}}} dx - \int {{x^{\frac{1}{6}}}dx} = 2\frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{^{\frac{2}{3} + 1}}} - \frac{{{x^{\frac{7}{6} + 1}}}}{{\frac{7}{6} + 1}} - \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + C =$

$= 2\frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} - \frac{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}}{{\frac{{13}}{6}}} - \frac{{{x^{\frac{7}{6}}}}}{{\frac{7}{6}}} + C = \frac{6}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{6}{{13}}{x^{\frac{{13}}{6}}} - \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + C$

Интеграл збира је збир интеграла, а константа излази испред: $\int (af(x) + bg(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$ . Зато се полином интеграли члан по члан: $\int (8x^3 - 3x^2)\,dx = 2x^4 - x^3 + C$ . Интеграл производа није производ интеграла, па израз прво средите: заграде помножите, а разломак раздвојите тако што сваки члан бројиоца поделите имениоцем. На пример, $\frac{(1 - x^2)^2}{x^3} = \frac{1}{x^3} - \frac{2}{x} + x$ , а сваки сабирак је таблични интеграл. Бројеви као $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ су константе и иду испред интеграла. Пре интеграције сваки сабирак запишите као степен, па примените правило за степене.

Честа грешка је да се бројилац и именилац интеграле засебно, што не важи.

Време6 h

Дотекло до тренутка T: 108 m³
5T² − T³/3: 108 m³
У резервоару V(T): 158 m³

Површина испод графика дотока је вода која је дотекла: за

T = 6

h то је 108 m³, па са почетних 50 m³ у резервоару има 158 m³. Иста вредност добија се из

5T^2 - \frac{T^3}{3}

.

Кад се доток воде, потрошња струје или брзина производње мењају током времена, укупна количина добија се интеграцијом члан по члан; тако се рачуна пуњење резервоара, базена и акумулација.

Кишница у резервоару

Са кровова фабричких хала кишница се током дуге кише слива у подземни резервоар у ком већ има 50 m³ воде. Киша прво јача, па слаби, и у упрошћеном моделу доток после $t$ сати износи $q(t) = t(10 - t)$ кубних метара на сат, за $0 \le t \le 10$ . Одредите запремину воде $V(t)$ и израчунајте колико воде има у резервоару после 6 сати.

Решење

Запремина је примитивна функција дотока, а производ прво помножимо: $q(t) = 10t - t^2$ .
Интегралимо члан по члан: $V(t) = \int (10t - t^2)\,dt = 5t^2 - \frac{t^3}{3} + C$ .
Почетни услов $V(0) = 50$ даје $C = 50$ .
После 6 сати: $V(6) = 5 \cdot 36 - \frac{216}{3} + 50 = 180 - 72 + 50 = 158$ m³.

Одговор: После 6 сати у резервоару има 158 m³ воде.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{(x + 2)^2}{x}\,dx$ .

Прикажи решење

$\frac{x^2 + 4x + 4}{x} = x + 4 + \frac{4}{x}$ , па је интеграл $\frac{x^2}{2} + 4x + 4\ln|x| + C$ .