Примена одређеног интеграла 1

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање површине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)

Ако је $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$ , интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ је површина између графика и осе $x$ . Кад је област ограничена двема кривама, од површине испод горње криве $g$ одузимате површину испод доње $f$ : $P = \int_a^b g(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b (g(x) - f(x))\,dx$ . Поступак: скицирајте обе криве (нуле, теме параболе), из система њихових једначина нађите пресечне тачке, па вредношћу у једној тачки између њих утврдите која је крива горња. Апсцисе пресека су границе интеграла. Разлику $g - f$ упростите пре интеграције, на пример $(2x + 3) - (x^2 + 2x - 1) = 4 - x^2$ .

Најчешћа грешка је да се за границе узму нуле функција уместо апсциса пресека.

Дубина воде h0,5 m

Ширина воде: 2 m
Површина пресека: 0,667 m²
Проток при 0,6 m/s: 400 l/s

Зелена површина је пресек воде, између праве

y = h

и параболе

y = \frac{x^2}{2}

. Кад дубину удвостручите, вода је

\sqrt 2

пута шира, а површина и проток порасту скоро три пута.

Хидротехничари овако рачунају површину попречног пресека воде у каналу или реци, па из ње и брзине тока добијају проток; исто се рачуна површина пресека тунела, лука или прозора.

Вода у каналу

Канал за наводњавање у Бачкој има попречни пресек у облику параболе $y = \frac{x^2}{2}$ (у метрима, дно канала у координатном почетку). Вода у каналу је дубока 0,5 m и тече средњом брзином 0,6 m/s. Колика је површина пресека воде и колико литара воде протекне каналом у секунди?

Решење

Површина воде у пресеку је права $y = 0{,}5$ . Пресеци са параболом: $\frac{x^2}{2} = 0{,}5$ , па је $x = \pm 1$ ; вода је широка 2 m.
Између пресека права је изнад параболе, па је $P = \int_{-1}^{1} 0{,}5\,dx - \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{2}\,dx = \int_{-1}^{1}\left(0{,}5 - \frac{x^2}{2}\right)dx$ .
$P = \left(0{,}5x - \frac{x^3}{6}\right)\Big|_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$ m².
Проток је површина пресека пута брзина: $Q = \frac{2}{3} \cdot 0{,}6 = 0{,}4$ m³ у секунди, то јест 400 l.

Одговор: Пресек воде има површину око 0,67 m², а каналом протекне 400 l воде у секунди.

Задатак за вежбу

Израчунајте површину између параболе $y = x^2 + x + 1$ и праве $y = 2x + 3$ .

Прикажи решење

Пресеци: $x^2 - x - 2 = 0$ , па је $x = -1$ и $x = 2$ . Права је изнад параболе, па је $P = \int_{-1}^{2}(-x^2 + x + 2)\,dx = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$ .