Функције – примена извода 1

Примена извода. Једанчина тангенте.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одредити једначину тангенте и нормале криве

$f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 7$ у тачки $A\left( {2, - 3} \right)$ .

Пр.2) Одредити једначину тангенте графика функције

$y = - {x^2} - 2$ која је паралелна прави $p:4x - y + 1 = 0$ .

Пр.1)

$\begin{aligned}&f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 7;A\left( {2, - 3} \right) \\ & \\ &t:y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \\ &f'\left( x \right) = 4x - 3 \\ &f'\left( 2 \right) = 4 \cdot 2 - 3 \\ &f'\left( 2 \right) = 5 \\ &t:y + 3 = 5\left( {x - 2} \right) \\ &t:y + 3 = 5x - 10 \\ &t:y = 5x - 13 \\ & \\ &n:y - {y_0} = - \frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\left( {x - {x_0}} \right) \\ &n:y + 3 = - \frac{1}{5}\left( {x - 2} \right) \\ &n:y = - \frac{1}{5}\left( {x - 2} \right) - 3 \\ &n:y = - \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} - 3 \\ &n:y = - \frac{1}{5}x - \frac{{13}}{5}\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&y = - {x^2} - 2 \\ &p:4x - y + 1 = 0 \\ & \\ &t\parallel p \leftrightarrow {k_t} = {k_p} \\ &p:4x - y + 1 = 0 \\ &p:y = 4x + 1 \Rightarrow {k_p} = 4 \Rightarrow {k_t} = 4 \\ & \\ &t:y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \\ & \\ &f\left( x \right) = - {x^2} - 2 \\ &f'\left( x \right) = - 2x \\ & \\ &f'\left( {{x_0}} \right) = {k_t} = 4 \\ &f'\left( {{x_0}} \right) = - 2{x_0} = 4 \Rightarrow {x_0} = - 2 \\ & \\ &{y_0} = - {x_0}^2 - 2 \\ &{y_0} = - {\left( { - 2} \right)^2} - 2 \\ &{y_0} = - 4 - 2 \\ &{y_0} = - 6 \\ &A\left( { - 2; - 6} \right) \\ & \\ &t:y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \\ &t:y + 6 = 4\left( {x + 2} \right) \\ &t:y + 6 = 4x + 8 \\ &t:y = 4x + 2\end{aligned}$

Извод $f'(x_0)$ је нагиб тангенте на график у тачки $(x_0, y_0)$ , где је $y_0 = f(x_0)$ . Једначина тангенте је $t: y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ . Нормала је права кроз исту тачку, нормална на тангенту: $n: y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ , ако је $f'(x_0) \ne 0$ . Ако је $f'(x_0) = 0$ , тангента је хоризонтална права $y = y_0$ , а нормала вертикална права $x = x_0$ . Ако се тражи тангента паралелна датој правој нагиба $k$ , решите једначину $f'(x_0) = k$ и тако нађете додирну тачку; за тангенту нормалну на праву решите $f'(x_0) = -\frac{1}{k}$ . Праву прво доведите у облик $y = kx + n$ : права $4x - y + 1 = 0$ има нагиб 4.

Пре рачунања проверите да тачка заиста лежи на графику, тј. да је $y_0 = f(x_0)$ .

Ивица рампе x₀2 m

Нагиб тангенте f′(x₀): 1
Угао одскока: 45°
Нагиб нормале: −1

Тангента и нормала у истој тачки увек су нормалне, па је производ њихових нагиба

-1

. Што је рампа дужа, ивица је стрмија и скејтер одлеће под већим углом.

Тангента даје правац у ком тело напушта криву путању, на пример скејтер на ивици рампе или скијаш на крају скакаонице, а нормала даје правац силе којом подлога делује на тело.

Рампа за скејтборд

Профил рампе за скејтборд је део параболе $y = 0{,}25x^2$ (у метрима), од тла у $x = 0$ до ивице у $x = 2$ . На ивици скејтер одлеће у правцу тангенте, а подлога га у том тренутку гура у правцу нормале. Одредите једначине тангенте и нормале у тој тачки и угао под којим скејтер одлеће.

Решење

Додирна тачка: $y_0 = 0{,}25 \cdot 2^2 = 1$ , а нагиб је $f'(x) = 0{,}5x$ , па је $f'(2) = 1$ .
Тангента: $y - 1 = 1 \cdot (x - 2)$ , тј. $y = x - 1$ . Нагиб 1 значи угао од $45^\circ$ према тлу.
Нормала има нагиб $-\frac{1}{f'(2)} = -1$ : $y - 1 = -1 \cdot (x - 2)$ , тј. $y = -x + 3$ .
Провера: производ нагиба је $1 \cdot (-1) = -1$ , па су тангента и нормала заиста нормалне.

Одговор: Скејтер одлеће дуж праве $y = x - 1$ , под углом од $45^\circ$ према тлу, а нормала у тој тачки је $y = -x + 3$ .

Задатак за вежбу

Одредите тангенту на график функције $y = x^2 - 4x + 1$ која је паралелна правој $y = 2x + 5$ .

Прикажи решење

Из $f'(x_0) = 2x_0 - 4 = 2$ следи $x_0 = 3$ и $y_0 = -2$ , па је тангента $y + 2 = 2(x - 3)$ , тј. $y = 2x - 8$ .