Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Примена одређеног интеграла 8

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање дужине лука криве. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.8)   Одредити дужину лука криве y=ln⁡(1−x2)y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right) на интервалу

            0⩽x⩽120 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}.

y=ln⁡(1−x2)y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right)

y′=11−x2⋅(1−x2)′y' = \frac{1}{{1 - {x^2}}} \cdot {\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime }

y′=−2x1−x2y' = \frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}

l=∫0121+(−2x1−x2)2dx=∫0121+4x2(1−x2)2dx=∫012(1−x2)2+4x2(1−x2)2dx=l = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx =

=∫0121−2x2+x4+4x2(1−x2)2dx=∫012(1+x2)2(1−x2)2dx=∫0121+x21−x2dx=−∫012x2+1x2−1dx== \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{1 - 2{x^2} + {x^4} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{1 + {x^2}}}{{1 - {x^2}}}} dx = - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} dx =

=−∫012x2−1+1−1x2−1dx=−(∫012x2−1x2−1dx+∫0122x2−1dx)=−∫012dx−2∫012dxx2−1== - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1 + 1 - 1}}{{{x^2} - 1}}} dx = - \left( {\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} } } \right) = - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {dx} - 2\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}} =

=(−x+2⋅12ln⁡∣1+x1−x∣)∣012=−12+ln⁡∣1+121−12∣−(0+ln⁡∣1+01−0∣)== \left. {\left( { - x + 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} + \ln \left| {\frac{{1 + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}} \right| - \left( {0 + \ln \left| {\frac{{1 + 0}}{{1 - 0}}} \right|} \right) =

=−12+ln⁡3−0=−12+ln⁡3= - \frac{1}{2} + \ln 3 - 0 = - \frac{1}{2} + \ln 3

Дужина лука криве y=f(x)y = f(x) од x=ax = a до x=bx = b је l=∫ab1+(f′(x))2 dxl = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx, а за параметарски задату криву l=∫αβ(x′(t))2+(y′(t))2 dtl = \int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt. Најтежи део је корен: интеграл се обично може решити само кад се израз 1+(f′(x))21 + (f'(x))^2 сведе на потпун квадрат. За y=ln⁡(1−x2)y = \ln(1 - x^2) је 1+(y′)2=(1+x2)2(1−x2)21 + (y')^2 = \frac{(1 + x^2)^2}{(1 - x^2)^2}, па се корен скида и остаје рационална функција, коју делите и растављате на просте разломке. Сличан трик успева код ланчанице, по којој виси жица или ланац. Пре интеграције израз под кореном сведите на заједнички именилац и потражите квадрат збира или разлике.

Најчешће грешке су изостављена јединица под кореном и квадрат извода замењен изводом квадрата.

−100−60−2020601001020300x (m)y (m)жица
500 m
Дужина жице
201,34 m
Вишак у односу на 200 m
1,34 m
Угиб у средини
10,03 m
Мање aa значи лабавију жицу: угиб брзо расте, а дужина само мало прелази 200 m. За a=500a = 500 жица је дуга 1000sh⁡0,2≈201,31000\operatorname{sh} 0{,}2 \approx 201{,}3 m, као у примеру; крива је спуштена тако да је најнижа тачка на оси xx.

Електроинжењери из дужине лука ланчанице рачунају колико жице треба за далековод између два стуба, а исти образац даје дужину путање, шине или кабла.

Жица далековода

Жица далековода између два стуба удаљена 200 m виси по ланчаници y=500ch⁡x500y = 500\operatorname{ch}\frac{x}{500} (у метрима, x=0x = 0 на средини распона), где је ch⁡t=et+e−t2\operatorname{ch} t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}. Колико је жица дуга и колико у средини виси испод тачака вешања?

Решење

  1. Стубови су у x=±100x = \pm 100. Извод је y′=sh⁡x500y' = \operatorname{sh}\frac{x}{500}, где је sh⁡t=et−e−t2\operatorname{sh} t = \frac{e^t - e^{-t}}{2}.
  2. Из дефиниција се лако провери да је ch⁡2t−sh⁡2t=1\operatorname{ch}^2 t - \operatorname{sh}^2 t = 1, па се корен упрошћава: 1+sh⁡2x500=ch⁡x500\sqrt{1 + \operatorname{sh}^2\frac{x}{500}} = \operatorname{ch}\frac{x}{500}.
  3. l=∫−100100ch⁡x500 dx=500sh⁡x500∣−100100=1000sh⁡0,2l = \int_{-100}^{100}\operatorname{ch}\frac{x}{500}\,dx = 500\operatorname{sh}\frac{x}{500}\Big|_{-100}^{100} = 1000\operatorname{sh} 0{,}2.
  4. sh⁡0,2=e0,2−e−0,22≈0,2013\operatorname{sh} 0{,}2 = \frac{e^{0{,}2} - e^{-0{,}2}}{2} \approx 0{,}2013, па је l≈201,3l \approx 201{,}3 m.
  5. Угиб у средини: y(100)−y(0)=500(ch⁡0,2−1)≈10,0y(100) - y(0) = 500(\operatorname{ch} 0{,}2 - 1) \approx 10{,}0 m.

Одговор: Жица је дуга око 201,3 m, само 1,3 m више од размака стубова, а у средини виси око 10 m ниже од тачака вешања.

Задатак за вежбу

Израчунајте дужину лука криве y=23xxy = \frac{2}{3}x\sqrt x од x=0x = 0 до x=3x = 3.

Прикажи решење

y′=xy' = \sqrt x, па је l=∫031+x dx=23(1+x)32∣03=23(8−1)=143l = \int_0^3\sqrt{1 + x}\,dx = \frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}.