Функције – знак функције 3

Функције. Знак функције. Одређивање домена, нула и знака функције на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

пр.9) $y = \frac{{1 - \ln x}}{{1 + \ln x}}$

пр.9)

$\begin{aligned}&Df:1 + \ln x \ne 0 \cap x > 0 \\ &\ln x \ne - 1 \\ &{e^{ - 1}} \ne x \\ &x \ne \frac{1}{e} \\ &Df:x \in \left( {0;\frac{1}{e}} \right) \cup \left( {\frac{1}{e}; + \infty } \right)\end{aligned}$

нуле:

$\begin{aligned}&y = 0 \\ &\frac{{1 - \ln x}}{{1 + \ln x}} = 0 \\ &1 - \ln x = 0 \\ &\ln x = 1 \\ &{\log _e}x = 1 \\ &{e^1} = x \\ &x = e \in Df\end{aligned}$

знак:

$\begin{aligned}&\ln x = {\log _e}x \\ &e > 1\end{aligned}$

429 png

$\begin{aligned}&{\log _a}a = 1 \\ &\ln e = 1\end{aligned}$

$\begin{aligned}&1 - \ln > 0 \\ &\ln x < 1 \\ &\ln x < \ln e \\ &x < e \\ & \\ &1 - \ln < 0 \\ &\ln x > 1 \\ &\ln x > \ln e \\ &x > e \\ & \\ &1 + \ln x > 0 \\ &\ln x > - 1 \\ &\ln x > - \ln e \\ &\ln x > \ln {e^{ - 1}} \\ &x > \frac{1}{e} \\ & \\ &1 + \ln x < 0 \\ &x < \frac{1}{e}\end{aligned}$

434 png

$y > 0$ за $x \in \left( {\frac{1}{e},e} \right)$

$y < 0$ за $x \in \left( {0;\frac{1}{e}} \right) \cup \left( {e; + \infty } \right)$

За функцију $y = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x}$ домен одређују два услова: $x > 0$ због логаритма и $1 + \ln x \ne 0$ због имениоца, па је $x \ne \frac{1}{e}$ . Нула је решење једначине $1 - \ln x = 0$ , тј. $x = e$ .

За знак сваки чинилац упоредите са логаритмом једног броја: $1 = \ln e$ и $-1 = \ln e^{-1}$ . Основа $e$ је већа од 1, па $\ln x$ расте: $\ln x < \ln e$ значи $x < e$ , а $\ln x > \ln\frac{1}{e}$ значи $x > \frac{1}{e}$ . У таблици знакова комбинујте бројилац и именилац: овде је $y > 0$ за $x \in \left(\frac{1}{e}, e\right)$ , а $y < 0$ на остатку домена. Знак проверите уврштавањем по једног броја из сваког интервала, на пример за $x = 1$ је $y = 1 > 0$ . Честа грешка је да се изостави услов $x > 0$ .

Колико пута K2

Годишњи фактор q1,04

t(q): 17,7 год.

График је

t(q) = \frac{\ln K}{\ln q}

, број година за који вредност порасте

K

пута; за

K = 2

то је удвостручење из примера. Кад

K

спустите испод 1, бројилац постане негативан и график се преврне: знак разломка зависи од оба чиниоца. У

q = 1

функција није дефинисана.

Количник логаритама јавља се у финансијама: време за које се вредност удвостручи рачуна се као $\frac{\ln 2}{\ln q}$ , а знак резултата показује да ли вредност расте или опада.

Кад се вредност удвостручи

Вредност нечега се сваке године помножи истим бројем $q$ : уштеђевина уз камату од 4% има $q = 1{,}04$ , а аутомобил који сваке године изгуби 10% вредности има $q = 0{,}9$ . Пошто из $q^t = 2$ следи $t = \frac{\ln 2}{\ln q}$ , функција $t(q) = \frac{\ln 2}{\ln q}$ даје број година после којих ће вредност бити двоструко већа од данашње. Одредите домен и знак функције $t$ и објасните шта значи негативан резултат.

Решење

Домен: $q > 0$ због логаритма и $\ln q \ne 0$ због имениоца, тј. $q \ne 1$ . Дакле $D_t = (0, 1) \cup (1, +\infty)$ .
Бројилац је позитиван, јер из $2 > 1$ следи $\ln 2 > \ln 1 = 0$ . Знак функције је зато знак имениоца, а нула не постоји.
Пошто $\ln$ расте, $\ln q > \ln 1 = 0$ за $q > 1$ , а $\ln q < 0$ за $0 < q < 1$ . Значи $t > 0$ за $q > 1$ , а $t < 0$ за $0 < q < 1$ .
Уштеђевина: $t(1{,}04) = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7$ . Аутомобил: $t(0{,}9) = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}9} \approx -6{,}6$ , што значи да је аутомобил двоструко више вредео пре око 6,6 година.

Одговор: Функција је позитивна за $q > 1$ , а негативна за $0 < q < 1$ : уштеђевина се удвостручи за око 17,7 година, а аутомобил је двоструко више вредео пре око 6,6 година.

Задатак за вежбу

Одредите домен, нулу и знак функције $y = \frac{\ln x - 2}{\ln x}$ .

Прикажи решење

Домен: $x > 0$ и $x \ne 1$ . Нула: $\ln x = 2$ , $x = e^2$ . Бројилац је позитиван за $x > e^2$ , а именилац за $x > 1$ , па је $y > 0$ за $x \in (0, 1) \cup (e^2, +\infty)$ , а $y < 0$ за $x \in (1, e^2)$ .