Интеграција рационалних функција 2

Интеграли. Особине интеграла. Интеграција рационалних функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.2) Решити $\int {\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}}} dx$ .

Пр.2) $\int {\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}}} dx=$

$\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{{x - 3}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x + 1} \right)}} =$

$= \frac{{A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + Bx\left( {x + 1} \right) + Cx\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$x - 3 = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + Bx\left( {x + 1} \right) + Cx\left( {x - 1} \right) =$

$= A\left( {{x^2} - 1} \right) + B\left( {{x^2} + x} \right) + C\left( {{x^2} - x} \right) =$

$= A{x^2} - A + B{x^2} + Bx + C{x^2} - Cx = \left( {A + B + C} \right){x^2} + \left( {B - C} \right)x - A$

$0 \cdot {x^2} + x - 3 = \left( {A + B + C} \right){x^2} + \left( {B - C} \right)x - A$

$\left\{ \begin{aligned}&A + B + C = 0 \\ &B - C = 1 \\ &- A = - 3\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&B + C = - 3 \\ &B - C = 1 \\ &A = 3\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&2B = - 2 \\ &B - C = 1 \\ &A = 3\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&B = - 1 \\ &C = - 2 \\ &A = 3\end{aligned} \right.$

$\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{3}{x} + \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{ - 2}}{{\left( {x + 1} \right)}}$

$\int {\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}}dx} = \int {\frac{3}{x}dx} + \int {\frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)}}dx} + \int {\frac{{ - 2}}{{\left( {x + 1} \right)}}dx} =$

$= 3\int {\frac{1}{x}dx} - \int {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx} - 2\int {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}}dx} =$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&x - 1 = t \\ &dx = dt\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&x + 1 = s \\ &dx = ds\end{aligned} \end{array}$

$= 3\int {\frac{1}{x}dx} - \int {\frac{{dt}}{t}} - 2\int {\frac{{dt}}{t}} = 3\ln \left| x \right| - \ln \left| t \right| - 2\ln \left| s \right| + C =$

$= 3\ln \left| x \right| - \ln \left| {x - 1} \right| - 2\ln \left| {x + 1} \right| + C = \ln {\left| x \right|^3} - \ln \left| {x - 1} \right| - \ln {\left| {x + 1} \right|^2} + C =$

$= \ln \left| {\frac{{{x^3}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right| + C$

Ако именилац има три различите линеарне нуле, разломак се раставља на три сабирка: $\frac{P(x)}{(x - a)(x - b)(x - c)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} + \frac{C}{x - c}$ . Именилац раставите тако што прво извучете заједнички чинилац, па употребите разлику квадрата: $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ . Затим помножите целу једнакост имениоцем и уврстите редом $x = a$ , $x = b$ и $x = c$ : сваки пут нестану два сабирка и остане једна непозната. Исто се добија и системом једначина из коефицијената уз $x^2$ , $x$ и слободан члан.

Интеграл је, до константе, збир три логаритма, $A\ln|x - a| + B\ln|x - b| + C\ln|x - c|$ , који се правилима за логаритме може записати као један. Број непознатих константи увек је једнак степену имениоца.

Циљна величина80

Време од 40 до циља: 1,91 год.
Брзина раста код циља: 24 по години

Плава крива је раст популације од 40 животиња, нацртана из примитивне функције

-2\ln N + 2{,}5\ln|N - 20| - 0{,}5\ln(100 - N)

. Испрекидана почиње од 19 животиња, испод прага, и опада ка нули. Близу 100 раст се успорава.

Еколози растављањем на просте разломке рачунају време раста популације у моделима са прагом опстанка, где брзина раста има три чиниоца, а хемичари трајање реакција у којима учествује више супстанци.

Популација у резервату

Еколози малу популацију дивокоза у резервату описују поједностављеним моделом са прагом опстанка: кад је животиња мање од 20, тешко налазе партнера и популација опада, а резерват не може да прехрани више од 100. По том моделу брзина раста је $N' = \frac{N(N - 20)(100 - N)}{4000}$ животиња годишње. За колико година популација нарасте са 40 на 80 животиња?

Решење

За мали прираштај $dN$ потребно је време $dt = \frac{dN}{N'}$ . Зато је време $t(N)$ , мерено од тренутка кад је животиња 40, једнако $t(N) = \int \frac{4000\,dN}{N(N - 20)(100 - N)}$ , уз $t(40) = 0$ .
Растављање: $\frac{1}{N(N - 20)(100 - N)} = \frac{A}{N} + \frac{B}{N - 20} + \frac{C}{100 - N}$ , односно $1 = A(N - 20)(100 - N) + BN(100 - N) + CN(N - 20)$ .
Уврштавањем нула: $N = 0$ даје $A = -\frac{1}{2000}$ , $N = 20$ даје $B = \frac{1}{1600}$ , а $N = 100$ даје $C = \frac{1}{8000}$ .
Помножено са 4000: $t(N) = \int\left(-\frac{2}{N} + \frac{2{,}5}{N - 20} + \frac{0{,}5}{100 - N}\right)dN = -2\ln N + 2{,}5\ln(N - 20) - 0{,}5\ln(100 - N) + C$ , за $20 < N < 100$ .
Из $t(40) = 0$ следи $C = 2\ln 40 - 2{,}5\ln 20 + 0{,}5\ln 60$ , па је $t(80) = -2\ln 2 + 2{,}5\ln 3 + 0{,}5\ln 3 = 3\ln 3 - 2\ln 2 = \ln\frac{27}{4} \approx 1{,}91$ година.

Одговор: Популација ће са 40 нарасти на 80 животиња за око 1,9 година.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{x^2 + 5x - 2}{x^3 - x}\,dx$ .

Прикажи решење

$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ . Уврштавањем $x = 0$ , $x = 1$ и $x = -1$ добија се $\frac{x^2 + 5x - 2}{x^3 - x} = \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ , па је интеграл $2\ln|x| + 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 1| + C$ .