Интеграција рационалних функција 5

Интеграли. Особине интеграла. Интеграција рационалних функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.5) Ршити $\int {\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}}} dx =$

Пр.5) $\int {\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}}} dx =$

$\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}} = \left( {{x^3} + 1} \right):\left( {{x^3} - {x^2}} \right) = 1 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}}$

$= \int {dx + \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}}dx = } }$

$\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - {x^2}}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x - 1}} = \frac{{Ax\left( {x - 1} \right) + B\left( {x - 1} \right) + C{x^2}}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}$

${x^2} + 1 = Ax\left( {x - 1} \right) + B\left( {x - 1} \right) + C{x^2}$

$= A{x^2} - Ax + Bx - B + C{x^2} = \left( {A + C} \right){x^2} + \left( { - A + B} \right)x - B$

$\left\{ \begin{aligned}&A + C = 1 \\ &- A + B = 0 \\ &- B = 1\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&C = 2 \\ &A = - 1 \\ &B = - 1\end{aligned} \right.$

$= \int {dx} + \int {\frac{{ - 1}}{x}dx + } \int {\frac{{ - 1}}{{{x^2}}}dx + } \int {\frac{2}{{x - 1}}} dx =$

$= \int {dx} - \int {\frac{1}{x}dx - } \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx + } 2\int {\frac{1}{{x - 1}}} dx =$

$x - 1 = t$

$dx = dt$

$= x - \ln \left| x \right| - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + 2\int {\frac{{dt}}{t}} = x - \ln \left| x \right| + \frac{1}{x}2\ln \left| t \right| + C =$

$= x - \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + 2\ln \left| {x - 1} \right| + C = x - \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + \ln {\left| {x - 1} \right|^2} + C =$

$= x + \frac{1}{x} + \ln \frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^2}}}{{\left| x \right|}} + C$

Ако степен бројиоца није мањи од степена имениоца, рационалну функцију прво поделите: $\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ , где је $S$ количник, а остатак $R$ има мањи степен од $Q$ . Тек остатак растављате на просте разломке. На пример, $\frac{x^2}{x^2 - 4} = 1 + \frac{4}{x^2 - 4}$ , а $\frac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$ , па је интеграл $x + \ln\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C$ . Количник се интеграли као полином, а прости разломци дају логаритме и степене. Полиноме делите као бројеве: поделите највише степене, помножите и одузмите, па поновите док степен остатка не постане мањи од степена делиоца.

Најчешћа грешка је растављање без дељења: тада систем за константе нема решења. Дељење проверите множењем: $S \cdot Q + R$ мора дати $P$ .

Брзина v₁4 m/s

Пређени пут: 18,7 m
Време: 6,4 s

Крива показује брзину чамца у зависности од пређеног пута, по формули

x = 12{,}5\left(-v + 2{,}5\ln\frac{5 + v}{5 - v}\right)

из примера. Што је брзина ближа 5 m/s, то је потребан пут дужи.

Дељење полинома пре растављања потребно је, на пример, кад инжењери рачунају пут који возило или чамац пређе док убрзава сталном снагом мотора против отпора средине.

Електрични чамац убрзава

Електрични чамац масе 500 kg на Палићком језеру покреће мотор сталне снаге 1000 W. При малим брзинама сила отпора воде је $40v$ N, где је $v$ брзина у m/s. Колики пут чамац пређе док из мировања не убрза до 4 m/s?

Решење

Сила мотора је $\frac{P}{v}$ , па из $500\frac{dv}{dt} = \frac{1000}{v} - 40v$ и $dx = v\,dt$ следи $dx = \frac{500v^2\,dv}{1000 - 40v^2} = 12{,}5 \cdot \frac{v^2\,dv}{25 - v^2}$ .
Степен бројиоца није мањи од степена имениоца, па прво делимо: $\frac{v^2}{25 - v^2} = -1 + \frac{25}{25 - v^2}$ .
Растављамо остатак: $\frac{25}{(5 - v)(5 + v)} = \frac{2{,}5}{5 - v} + \frac{2{,}5}{5 + v}$ .
$x(v) = 12{,}5\int \frac{v^2\,dv}{25 - v^2} = 12{,}5\left(-v + 2{,}5\ln\frac{5 + v}{5 - v}\right) + C$ , за $0 \le v < 5$ .
Пут меримо од места где је чамац кренуо, $x(0) = 0$ , па је $C = 0$ . До 4 m/s: $x = 12{,}5\left(-4 + 2{,}5\ln 9\right) \approx 12{,}5 \cdot 1{,}493 \approx 18{,}7$ m.

Одговор: Чамац пређе око 18,7 m док не убрза до 4 m/s; брзину од 5 m/s, при којој би сва снага мотора одлазила на отпор, никад не достиже.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}\,dx$ .

Прикажи решење

Дељење: $\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{3}{x^2 - 1} = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$ , па је интеграл $x + \frac{3}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$ .