Функције – граничне вредности функција 3

Гранична вредност функције. Неодређеност бесконачно кроз бесконачно, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.9) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}}{{{{(2x - 5)}^4}}}$

пр.10) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 1}}{{\sqrt {2{x^4} + 2} }}$

пр.11) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[4]{{x + {x^4}}} - \sqrt[5]{{3 + {x^2}}}}}{{\sqrt[3]{x} - x - \sqrt[4]{{1 - x}}}}$

пр.9)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}}{{{{(2x - 5)}^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}}{{{{(2x - 5)}^4}}} \cdot \frac{{{x^4}}}{{{x^4}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}}{{{x^4}}}}}{{\frac{{{{(2x - 5)}^4}}}{{{x^4}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{x - 1}}{{{x^4}}} \cdot \frac{{x - 2}}{{{x^4}}} \cdot \frac{{x - 3}}{{{x^4}}} \cdot \frac{{x - 4}}{{{x^4}}}}}{{{{\left( {\frac{{2x - 5}}{x}} \right)}^4}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\left( {1 - \frac{3}{x}} \right)\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}{{{{(2x - 5)}^4}}} = \frac{{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}}{{{2^4}}} = \frac{1}{{16}}\end{aligned}$

пр.10)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 1}}{{\sqrt {2{x^4} + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 1}}{{\sqrt {2{x^4} + 2} }} \cdot \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{\sqrt {2{x^4} + 2} }}{{\sqrt {{x^4}} }}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{\sqrt {2{x^4} + 2} }}{{\sqrt {{x^4}} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\sqrt {\frac{{2{x^4} + 2}}{{{x^4}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\sqrt {2 + \frac{2}{{{x^4}}}} }} = \frac{{2 - 0}}{{\sqrt {2 + 0} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2\end{aligned}$

пр.11)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[4]{{x + {x^4}}} - \sqrt[5]{{3 + {x^2}}}}}{{\sqrt[3]{x} - x - \sqrt[4]{{1 - x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[4]{{x + {x^4}}} - \sqrt[5]{{3 + {x^2}}}}}{{\sqrt[3]{x} - x - \sqrt[4]{{1 - x}}}} \cdot \frac{x}{x} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{\sqrt[4]{{x + {x^4}}}}}{x} - \frac{{\sqrt[5]{{3 + {x^2}}}}}{x}}}{{\sqrt[3]{{\frac{x}{{{x^3}}}}} - 1 - \sqrt[4]{{\frac{{1 - x}}{{{x^4}}}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[4]{{\frac{x}{{{x^4}}} + 1}} - \sqrt[5]{{\frac{3}{{{x^5}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^5}}}}}}}{{\sqrt[3]{{\frac{x}{{{x^3}}}}} - 1 - \sqrt[4]{{\frac{{1 - x}}{{{x^4}}}}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt[4]{{0 + 1}} - \sqrt[5]{0}}}{{\sqrt[3]{0} - 1 - \sqrt[4]{0}}} = - 1\end{aligned}$

Сложенији количници облика $\frac{\infty}{\infty}$ решавају се истим поступком, само прво процените „степен“ бројиоца и имениоца. Производ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ понаша се као $x^4$ , а $(2x - 5)^4$ као $16x^4$ , па је лимес њиховог количника $\frac{1}{16}$ . Корен $\sqrt{2x^4 + 2}$ понаша се као $\sqrt{2}x^2$ , а $\sqrt[4]{x + x^4}$ као $x$ .

Бројилац и именилац поделите највећим од тих степени. Кад делите са $x^k$ , под квадратни корен уносите $x^{2k}$ : $\frac{\sqrt{2x^4 + 2}}{x^2} = \sqrt{\frac{2x^4 + 2}{x^4}} = \sqrt{2 + \frac{2}{x^4}}$ . Затим сви чланови облика $\frac{c}{x^m}$ теже нули. Честа грешка је да се под корен унесе погрешан степен, на пример $x^2$ уместо $x^4$ .

Разлика страница c30 m

Краћа страница x40 m

Однос r(x): 0,733
Уштеда пута: 26,7%

Испрекидана права је

y = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707

. Колика год да је разлика страница

c

, за веће ливаде однос јој се приближава: у бесконачности одлучују само водећи чланови. За

c = 0

ливада је квадрат и однос је тачно

\frac{\sqrt{2}}{2}

.

Програмери овако пореде брзину алгоритама за веома велике улазе, а инжењери процењују однос две величине кад се димензије вишеструко повећају.

Пречица преко ливаде

Правоугаона ливада има странице $x$ m и $x + 30$ m. Уместо да идете дуж две странице, можете је прећи дијагонално. Однос пута преко ливаде и пута око ње је $r(x) = \frac{\sqrt{x^2 + (x + 30)^2}}{2x + 30}$ . Колики је тај однос за $x = 40$ и ком броју тежи кад $x \to \infty$ ?

Решење

За $x = 40$ : $r(40) = \frac{\sqrt{1600 + 4900}}{110} = \frac{\sqrt{6500}}{110} \approx \frac{80{,}6}{110} \approx 0{,}733$ .
Кад $x \to \infty$ , добијамо $\frac{\infty}{\infty}$ . Бројилац се понаша као $\sqrt{2x^2} = \sqrt{2}x$ , а именилац као $2x$ , па делимо са $x$ .
У бројиоцу $x$ уносимо под корен као $x^2$ : $\frac{\sqrt{x^2 + (x + 30)^2}}{x} = \sqrt{1 + \left(1 + \frac{30}{x}\right)^2}$ , а именилац постаје $2 + \frac{30}{x}$ .
Пошто $\frac{30}{x} \to 0$ , добијамо $\lim_{x \to \infty} r(x) = \frac{\sqrt{1 + 1}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ .

Одговор: За ливаду од 40 m и 70 m пречица износи 73% пута око ливаде, а за веома велике ливаде однос тежи ка $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ , па пречица штеди највише око 29% пута.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x - 5}$ .

Прикажи решење

Делимо са $x$ , а у бројиоцу под корен уносимо $x^2$ : $\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{5}{x}} \to \frac{3}{2}$ .