Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – извод функције 7

Извод функције. Извод сложене функције. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити извод функције:

Пр.1)   y=(2x−5)2y = {\left( {2x - 5} \right)^2}

Пр.2)   y=(4x2−7x−13)10y = {\left( {4{x^2} - 7x - 13} \right)^{10}}

Пр.3)   y=(7x3−12x2+1)7y = {\left( {7{x^3} - 12{x^2} + 1} \right)^7}

Пр.4)   y=12x2−3x7y = \frac{1}{{\sqrt[7]{{2{x^2} - 3x}}}}

Пр.5)   y=sin⁡(3x−7)y = \sin \left( {3x - 7} \right)

Пр.6)   y=ln⁡(x3−3x2+4x−15)y = \ln \left( {{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15} \right)

Пр.1)   y=(2x−5)2y = {\left( {2x - 5} \right)^2}

1. начин

y′=2(2x−5)⋅(2x−5)′=2(2x−5)⋅2=8x−20y' = 2\left( {2x - 5} \right) \cdot {\left( {2x - 5} \right)^\prime } = 2\left( {2x - 5} \right) \cdot 2 = 8x - 20

2. начин

y′=((2x−5)2)′=(4x2−20x+25)′=8x−20y' = {\left( {{{\left( {2x - 5} \right)}^2}} \right)^\prime } = {\left( {4{x^2} - 20x + 25} \right)^\prime } = 8x - 20

Пр.2)   y=(4x2−7x−13)10y = {\left( {4{x^2} - 7x - 13} \right)^{10}}

y′=10⋅(4x2−7x−13)9⋅(4x2−7x−13)′=10⋅(4x2−7x−13)9⋅(8x−7)y' = 10 \cdot {\left( {4{x^2} - 7x - 13} \right)^9} \cdot {\left( {4{x^2} - 7x - 13} \right)^\prime } = 10 \cdot {\left( {4{x^2} - 7x - 13} \right)^9} \cdot \left( {8x - 7} \right)

Пр.3)   y=(7x3−12x2+1)7y = {\left( {7{x^3} - 12{x^2} + 1} \right)^7}

y′=7⋅(7x3−12x2+1)6⋅(7x3−12x2+1)′=y' = 7 \cdot {\left( {7{x^3} - 12{x^2} + 1} \right)^6} \cdot {\left( {7{x^3} - 12{x^2} + 1} \right)^\prime }=

=7⋅(7x3−12x2+1)6⋅(21x2−24x)= 7 \cdot {\left( {7{x^3} - 12{x^2} + 1} \right)^6} \cdot \left( {21{x^2} - 24x} \right)

Пр.4)   y=12x2−3x7y = \frac{1}{{\sqrt[7]{{2{x^2} - 3x}}}}

y′=(12x2−3x7)′=(1(2x2−3x)17)′=((2x2−3x)−17)′=y' = {\left( {\frac{1}{{\sqrt[7]{{2{x^2} - 3x}}}}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {2{x^2} - 3x} \right)}^{\frac{1}{7}}}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {2{x^2} - 3x} \right)}^{ - \frac{1}{7}}}} \right)^\prime } =

=−17(2x2−3x)−17−1⋅(2x2−3x)′=−17(2x2−3x)−87⋅(4x−3)== - \frac{1}{7}{\left( {2{x^2} - 3x} \right)^{ - \frac{1}{7} - 1}} \cdot {\left( {2{x^2} - 3x} \right)^\prime } = - \frac{1}{7}{\left( {2{x^2} - 3x} \right)^{ - \frac{8}{7}}} \cdot \left( {4x - 3} \right) =

=−17⋅(2x2−3x)87⋅(4x−3)= - \frac{1}{{7 \cdot \sqrt[7]{{{{\left( {2{x^2} - 3x} \right)}^8}}}}} \cdot \left( {4x - 3} \right)

Пр.5)   y=sin⁡(3x−7)y = \sin \left( {3x - 7} \right)

y′=cos⁡(3x−7)(3x−7)′=3cos⁡(3x−7)y' = \cos \left( {3x - 7} \right){\left( {3x - 7} \right)^\prime } = 3\cos \left( {3x - 7} \right)

Пр.6)   y=ln⁡(x3−3x2+4x−15)y = \ln \left( {{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15} \right)

y′=(ln⁡(x3−3x2+4x−15))y=l⁡x3−3x2+4x−15(x3−3x2+4x−15)′=y' = \left( {\ln \left( {{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15} \right)} \right)y = \frac{\operatorname{l} }{{{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15}}{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15} \right)^\prime } =

=l⁡x3−3x2+4x−15(3x2−6x+4)= \frac{\operatorname{l} }{{{x^3} - 3{x^2} + 4x - 15}}\left( {3{x^2} - 6x + 4} \right)

Сложена функција f(g(x))f(g(x)) изводи се по правилу [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x). Прво изведете спољашњу функцију, а унутрашњу препишете непромењену, па све помножите изводом унутрашње функције. Који је слој спољашњи, препознаћете по томе што би се та операција израчунала последња кад бисте уврстили конкретан број. Тако је ((2x−5)2)′=2(2x−5)⋅2=8x−20((2x - 5)^2)' = 2(2x - 5) \cdot 2 = 8x - 20, (sin⁡(3x−7))′=3cos⁡(3x−7)(\sin(3x - 7))' = 3\cos(3x - 7), а за логаритам важи (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}. Корен или разломак прво запишите као степен: 1u7=u−17\frac{1}{\sqrt[7]{u}} = u^{-\frac{1}{7}}.

Највише поена се губи кад се заборави множење изводом унутрашње функције. Рачун можете проверити на једноставном примеру: (2x−5)2(2x - 5)^2 развијте у полином, изведите га члан по члан и упоредите оба резултата.

4812165101520253035t (min)h (m)
5 min
Висина h(t)
20 m
Брзина h′(t)
5,65 m/min
Нагиб тангенте је h′(t)=1,8πsin⁡πt10h'(t) = 1{,}8\pi\sin\frac{\pi t}{10}. Да је изостављен унутрашњи извод π10\frac{\pi}{10}, брзина би испала више од три пута већа. На врху, у t=10t = 10 min, тангента је водоравна.

Правило сложене функције користи се кад једна величина зависи од друге која се и сама мења: висина кабине панорамског точка зависи од угла, а угао од времена. Исто важи за осцилације у електротехници и машинству.

Панорамски точак

Панорамски точак полупречника 18 m направи један круг за 20 минута, а кабина у најнижем положају је 2 m изнад тла. Висина кабине после tt минута је h(t)=20−18cos⁡πt10h(t) = 20 - 18\cos\frac{\pi t}{10} метара. Колико брзо се кабина пење после 5 минута?

Решење

  1. Спољашња функција је cos⁡u\cos u, а унутрашња u=πt10u = \frac{\pi t}{10}, са изводом u′=π10u' = \frac{\pi}{10}.
  2. h′(t)=−18⋅(−sin⁡πt10)⋅π10=1,8πsin⁡πt10h'(t) = -18 \cdot \left(-\sin\frac{\pi t}{10}\right) \cdot \frac{\pi}{10} = 1{,}8\pi\sin\frac{\pi t}{10}.
  3. За t=5t = 5 је sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1, па је h′(5)=1,8π≈5,65h'(5) = 1{,}8\pi \approx 5{,}65.
  4. Провера: кабина је тада у висини средишта точка, h(5)=20h(5) = 20 m, и креће се усправно, брзином којом обилази круг, 2π⋅1820=1,8π\frac{2\pi \cdot 18}{20} = 1{,}8\pi метара у минути.

Одговор: После 5 минута кабина се пење брзином од око 5,65 m у минути.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције y=x2+9y = \sqrt{x^2 + 9} и израчунајте y′(4)y'(4).

Прикажи решење

y=(x2+9)12y = (x^2 + 9)^{\frac{1}{2}}, па је y′=12(x2+9)−12⋅2x=xx2+9y' = \frac{1}{2}(x^2 + 9)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} и y′(4)=45y'(4) = \frac{4}{5}.