Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – извод функције 4

Извод функције. Извод збира и разлике. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.7)   Израчунати извод функције y=7x2−3x+14y = 7{x^2} - 3x + 14.

Пр.8)   Израчунати извод функције y=2x3−2x2+12x−12y = 2{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}} - \frac{1}{2}.

Пр.9)   Пронаћи извод функције y=4x23−2x3+x−0,5y = 4\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt x - 0,5.

Пр.10)   Пронаћи извод функције y=2x2x−xx32y = 2{x^2}\sqrt x - \frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}.

Пр.7)  y=7x2−3x+14y = 7{x^2} - 3x + 14

y′=(7x2)′−(3x)′+(14)′=7(x2)′−3(x)′+0=14x−3⋅1=14x−3y' = {\left( {7{x^2}} \right)^\prime } - {\left( {3x} \right)^\prime } + {\left( {14} \right)^\prime } = 7{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 3{\left( x \right)^\prime } + 0 = 14x - 3 \cdot 1 = 14x - 3

Пр.8)   y=2x3−2x2+12x−12y = 2{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}} - \frac{1}{2}

y′=(2x3)′−(2x2)′+(12x)′−(12)′=2(x3)′−(2x−2)′+(12x−1)′−0=y' = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {2{x^{ - 2}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{2}{x^{ - 1}}} \right)^\prime } - 0 =

=6x2+4x−3−12x−2=6x2+4x−3−12x−2= 6{x^2} + 4{x^{ - 3}} - \frac{1}{2}{x^{ - 2}} = 6{x^2} + \frac{4}{{{x^{ - 3}}}} - \frac{1}{{2{x^{ - 2}}}}

Пр.9)   y=4x23−2x3+x−0,5y = 4\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt x - 0,5.

y′=(4x23)′−(2x3)′+(x)′−(0,5)′=(4x23)′−(2x13)′+(x12)′−0=y' = {\left( {4\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)^\prime } - {\left( {2\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } - {\left( {0,5} \right)^\prime } = {\left( {4{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } - {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^\prime } + {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } - 0 =

=4⋅23x23−1−2⋅13x13−1+12x12−1=83x−13−23x−23+12x−12=83x13−23x23+12x12== 4 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} - 1}} - 2 \cdot \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{3} - 1}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{8}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{8}{{3{x^{\frac{1}{3}}}}} - \frac{2}{{3{x^{\frac{2}{3}}}}} + \frac{1}{{2{x^{\frac{1}{2}}}}} =

=83x3−23x23+12x= \frac{8}{{3\sqrt[3]{x}}} - \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}

Пр.10)   y=2x2x−xx32y = 2{x^2}\sqrt x - \frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}

y′=(2x2x)′−(xx32)′=2(x2x)′−12(xx3)′=2(x52)′−12(x43)′=y' = {\left( {2{x^2}\sqrt x } \right)^\prime } - {\left( {\frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^2}\sqrt x } \right)^\prime } - \frac{1}{2}{\left( {x\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^\prime } - \frac{1}{2}{\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)^\prime } =

=2⋅52(x52−1)−12⋅43(x43−1)=5x32−46x13=5x3−23x3= 2 \cdot \frac{5}{2}\left( {{x^{\frac{5}{2} - 1}}} \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\left( {{x^{\frac{4}{3} - 1}}} \right) = 5{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 5\sqrt {{x^3}} - \frac{2}{3}\sqrt[3]{x}

Извод збира и разлике рачуна се члан по члан: (f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'. Константа која множи члан остаје испред, (c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f', а слободан члан нестаје, јер је извод сваке константе нула. Пре извођења сваки члан напишите као степен променљиве xx: 2x2=2x−2\frac{2}{x^2} = 2x^{-2}, 12x=12x−1\frac{1}{2x} = \frac{1}{2}x^{-1}, x23=x23\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} и xx3=x43x\sqrt[3]{x} = x^{\frac{4}{3}}. Затим сваки члан посебно изведите правилом (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1} и резултате саберите. На пример, (x3−4x)′=3x2+4x2\left(x^3 - \frac{4}{x}\right)' = 3x^2 + \frac{4}{x^2}.

Добијене негативне изложиоце на крају вратите у именилац: 4x−3=4x34x^{-3} = \frac{4}{x^3}, а не 4x−3\frac{4}{x^{-3}}. Пазите и на знак: извод члана −2x−2-2x^{-2} је +4x−3+4x^{-3}, јер се два минуса множе.

40608010012014024681012v (km/h)l на 100 km0,0005v²200/vf(v)
100 km/h
Потрошња f(v)
7 l
Нагиб првог члана 0,001v
0,1
Нагиб другог члана −200/v²
−0,02
Збир: f′(v)
0,08
Нагиб тангенте на збир једнак је збиру нагиба оба сабирка. Испод око 58 km/h превладава −200v2-\frac{200}{v^2} и потрошња опада, а изнад те брзине расте.

Инжењери моделују потрошњу горива као збир чланова који на различит начин зависе од брзине, а извод показује колико потрошња расте кад се вози брже.

Потрошња на ауто-путу

У упрошћеном моделу аутомобил на 100 km троши f(v)=0,0005v2+200vf(v) = 0{,}0005v^2 + \frac{200}{v} литара горива, где је vv брзина у km/h. Први члан потиче од отпора ваздуха, а други од губитака у мотору који трају без обзира на брзину. Колико аутомобил троши при 100 km/h и колико брзо потрошња тада расте?

Решење

  1. Други члан запишемо као степен: f(v)=0,0005v2+200v−1f(v) = 0{,}0005v^2 + 200v^{-1}.
  2. Изводимо члан по члан: f′(v)=0,0005⋅2v+200⋅(−1)v−2=0,001v−200v2f'(v) = 0{,}0005 \cdot 2v + 200 \cdot (-1)v^{-2} = 0{,}001v - \frac{200}{v^2}.
  3. При 100 km/h: f(100)=5+2=7f(100) = 5 + 2 = 7 литара на 100 km.
  4. f′(100)=0,1−0,02=0,08f'(100) = 0{,}1 - 0{,}02 = 0{,}08: сваки km/h брзине више додаје око 0,08 литара на 100 km, па 10 km/h више додаје око 0,8 литара.

Одговор: При 100 km/h аутомобил троши 7 литара на 100 km, а потрошња расте за око 0,08 литара на 100 km по сваком km/h брзине.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције y=3x2−4x+2xy = 3x^2 - 4\sqrt{x} + \frac{2}{x} и израчунајте y′(4)y'(4).

Прикажи решење

y′=6x−2x−12−2x−2=6x−2x−2x2y' = 6x - 2x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-2} = 6x - \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}, па је y′(4)=24−1−18=1838=22,875y'(4) = 24 - 1 - \frac{1}{8} = \frac{183}{8} = 22{,}875.