Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Неодређени интеграли – метода смене 2

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити

Пр.4)    ∫x23x2−1dx\int {\frac{{{x^2}}}{{3{x^2} - 1}}} dx

Пр.5)   ∫x3(2x4−3)7dx\int {{x^3}} {\left( {2{x^4} - 3} \right)^7}dx

Пр.6)   ∫xsin⁡(2x2−1)dx\int {x\sin \left( {2{x^2} - 1} \right)} dx

Пр.7)   ∫x⋅e4x2−2dx\int {x \cdot {e^{4{x^2} - 2}}} dx

Пр.8)   ∫1−ln⁡xxdx\int {\frac{{\sqrt {1 - \ln x} }}{x}} dx

Пр.9)   ∫1xln⁡2x3dx\int {\frac{1}{{x\sqrt[3]{{{{\ln }^2}x}}}}} dx

Пр.4)    ∫x23x2−1dx=\int {\frac{{{x^2}}}{{3{x^2} - 1}}} dx=

Смена: 3x3−1=t/′3{x^3} - 1 = t/'

(3x3−1)′dx=t′dt{\left( {3{x^3} - 1} \right)^\prime }dx = t'dt

9x2dx=dt9{x^2}dx = dt

x2dx=dt9{x^2}dx = \frac{{dt}}{9}

=∫dt9t=19∫dtt=19ln⁡t+C=19ln⁡∣3x3−1∣+C= \int {\frac{{\frac{{dt}}{9}}}{t}} = \frac{1}{9}\int {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{9}\ln t + C = \frac{1}{9}\ln \left| {3{x^3} - 1} \right| + C

Пр.5)   ∫x3(2x4−3)7dx=\int {{x^3}} {\left( {2{x^4} - 3} \right)^7}dx=

Смена: 2x4−3=t/′2{x^4} - 3 = t/'

8x3dx=dt8{x^3}dx = dt

x3dx=dt8{x^3}dx = \frac{{dt}}{8}

=∫t7dt8=18∫t7dt=18t88+C=164(2x4−3)8+C= \int {{t^7}} \frac{{dt}}{8} = \frac{1}{8}\int {{t^7}dt = \frac{1}{8}} \frac{{{t^8}}}{8} + C = \frac{1}{{64}}{\left( {2{x^4} - 3} \right)^8} + C

Пр.6)   ∫xsin⁡(2x2−1)dx\int {x\sin \left( {2{x^2} - 1} \right)} dx

Смена: 2x2−1=t/′2{x^2} - 1 = t/'

4xdx=dt4xdx = dt

xdx=dt4xdx = \frac{{dt}}{4}

=∫sin⁡tdt4=14∫sin⁡tdt=−14cos⁡t+C=−14cos⁡(2x2−1)+C= \int {\sin t} \frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}\int {\sin tdt = - \frac{1}{4}} \cos t + C = - \frac{1}{4}\cos \left( {2{x^2} - 1} \right) + C

Пр.7)   ∫x⋅e4x2−2dx\int {x \cdot {e^{4{x^2} - 2}}} dx

Смена: 4x2−2=t/′4{x^2} - 2 = t/'

8xdx=dt8xdx = dt

xdx=dt8xdx = \frac{{dt}}{8}

=∫etdt8=18∫etdt=18et+C=18e4x2−2+C= \int {{e^t}} \frac{{dt}}{8} = \frac{1}{8}\int {{e^t}dt = \frac{1}{8}} {e^t} + C = \frac{1}{8}{e^{4{x^2} - 2}} + C

Пр.8)   ∫1−ln⁡xxdx\int {\frac{{\sqrt {1 - \ln x} }}{x}} dx

Смена: 1−ln⁡x=t/′1 - \ln x = t/'

−1xdx=dt- \frac{1}{x}dx = dt

dxx=−dt\frac{{dx}}{x} = - dt

=∫t(−dt)=−∫t12dt=−t3232+C=−23t3+C=−231−ln⁡x3+C= \int {\sqrt t } \left( { - dt} \right) = - \int {{t^{\frac{1}{2}}}dt = - \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} + C = - \frac{2}{3}{\sqrt t ^3} + C = - \frac{2}{3}{\sqrt {1 - \ln x} ^3} + C

Пр.9)   ∫1xln⁡2x3dx\int {\frac{1}{{x\sqrt[3]{{{{\ln }^2}x}}}}} dx

Смена: ln⁡x=t/′\ln x = t/'

1xdx=dt\frac{1}{x}dx = dt

=∫1t23dt=−∫1t23dt=∫t−23dt=−23t3+C== \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}} dt = - \int {\frac{1}{{{t^{\frac{2}{3}}}}}dt = \int {{t^{ - \frac{2}{3}}}dt} } = - \frac{2}{3}{\sqrt t ^3} + C =

=t−23+1−23+1+C=t1313+C=3t3+C=3ln⁡x3+C= \frac{{{t^{ - \frac{2}{3} + 1}}}}{{ - \frac{2}{3} + 1}} + C = \frac{{{t^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{t} + C = 3\sqrt[3]{{\ln x}} + C

Смена t=g(x)t = g(x) успева кад се уз сложену функцију налази извод њене унутрашње функције, макар до константног фактора. У ∫x ex2 dx\int x\,e^{x^2}\,dx унутрашња функција је x2x^2, а x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2}, па је резултат 12ex2+C\frac{1}{2}e^{x^2} + C. Исто важи за степене, синусе и корене: ∫x2(x3+1)4 dx\int x^2(x^3 + 1)^4\,dx решава смена t=x3+1t = x^3 + 1. Кад је бројилац, до константе, извод имениоца, добија се логаритам: ∫g′(x)g(x) dx=ln⁡∣g(x)∣+C\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C. Уз ln⁡x\ln x обично стоји dxx\frac{dx}{x}, па је смена t=ln⁡xt = \ln x.

Константни фактор може да се дода или извуче, али променљива не може: у ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx нема xx испред, па ова смена ту не помаже.

36912150,020,040,060,080,10,120v (m/s)P′(v)v₀P′(v)
3 m/s
Површина (интеграл)
0,165
P(v₀) = 1 − e^(−v₀²/50)
0,165
Удео времена
16,5%
Зелена површина испод криве P′(v)P'(v) од 0 до v0v_0 је удео времена са ветром слабијим од v0v_0, и једнака је 1−e−v02501 - e^{-\frac{v_0^2}{50}}, примитивној функцији добијеној сменом. Цела површина испод криве је 1.

Овакве смене стоје иза многих формула статистике и физике: из густине расподеле брзине ветра инжењери рачунају колики део времена ће турбине ветропарка стајати, а колики радити.

Ветар и турбина

Пројектанти ветропарка у Банату процењују колико ће турбине стајати због слабог ветра. По моделу, удео времена P(v)P(v) у ком је брзина ветра мања од vv (у m/s) испуњава P′(v)=v25e−v250P'(v) = \frac{v}{25}e^{-\frac{v^2}{50}} и P(0)=0P(0) = 0. Турбина почиње да ради кад ветар достигне 3 m/s. Колики део времена турбина стоји?

Решење

  1. P(v)=∫v25e−v250 dvP(v) = \int \frac{v}{25}e^{-\frac{v^2}{50}}\,dv. Уз експоненцијалну функцију стоји vv, а то је, до константе, извод изложиоца.
  2. Смена t=−v250t = -\frac{v^2}{50}: dt=−v25 dvdt = -\frac{v}{25}\,dv, па је v25 dv=−dt\frac{v}{25}\,dv = -dt.
  3. P=∫et(−dt)=−et+C=−e−v250+CP = \int e^t(-dt) = -e^t + C = -e^{-\frac{v^2}{50}} + C.
  4. Из P(0)=−1+C=0P(0) = -1 + C = 0 следи C=1C = 1, па је P(v)=1−e−v250P(v) = 1 - e^{-\frac{v^2}{50}}.
  5. За v=3v = 3: P(3)=1−e−0,18≈1−0,835=0,165P(3) = 1 - e^{-0{,}18} \approx 1 - 0{,}835 = 0{,}165.

Одговор: Ветар је слабији од 3 m/s око 16,5% времена, па толико времена турбина стоји.

Задатак за вежбу

Израчунајте ∫x2 dxx3+8\int \frac{x^2\,dx}{x^3 + 8}.

Прикажи решење

Смена t=x3+8t = x^3 + 8, dt=3x2 dxdt = 3x^2\,dx: 13∫dtt=13ln⁡∣t∣+C=13ln⁡∣x3+8∣+C\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{3}\ln|t| + C = \frac{1}{3}\ln|x^3 + 8| + C.