Неодређени интеграли – парцијална интеграција 5

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.11)   Решити $\int {\sqrt {4 - {x^2}} } dx$

Пр.11)    $\int {\sqrt {4 - {x^2}} } dx=$

$\sqrt {4 - {x^2}} \cdot \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$

$= \int {\frac{4}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx - \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx$

${I_1} = \int {\frac{4}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx = 4\int {\frac{1}{{\sqrt {4\left( {1 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \right)} }}} dx =$

$\frac{x}{2} = t$

$\frac{{dx}}{2} = dt$

$dx = 2dt$

$= 2\int {\frac{{2dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} = 4\arcsin t + C = 4\arcsin \frac{x}{2} + C$

${I_2} = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx =$

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&u = x \\ &du = dx\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx \\ &v = \int {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx = } \\ &4 - {x^2} = s \\ &- 2xdx = ds \\ &xdx = \frac{{ds}}{{ - 2}} \\ & \\ &= \int {\frac{{\frac{{ds}}{{ - 2}}}}{{\sqrt s }}} = - \frac{1}{2}\int {{s^{ - \frac{1}{2}}}ds} \\ &v = - \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{{\frac{1}{2}}} + C = - \sqrt {4 - {x^2}} + C\end{aligned} \end{array}$$

$= - x\sqrt {4 - {x^2}} + \int {\sqrt {4 - {x^2}} dx}$

$\int {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = {I_1} - {I_2}$

$\int {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = 4\arcsin \frac{x}{2} + x\sqrt {4 - {x^2}} - \int {\sqrt {4 - {x^2}} dx}$

$2\int {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = 4\arcsin \frac{x}{2} + x\sqrt {4 - {x^2}}$

$\int {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} + \frac{x}{2}\sqrt {4 - {x^2}}$