Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – извод функције 9

Извод функције. Извод сложене функције. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.10)   Одредити извод функције:

              y=cosx⁡⋅1+sin⁡2xy = \operatorname{cosx} \cdot \sqrt {1 + {{\sin }^2}x}

Пр.11)   y=ln⁡(x+x2+1)−xx2+1y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}

Код сложенијих израза прво одредите последњу операцију у изразу. Ако је то производ, примените (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', а сваки чинилац који је сложена функција изведите правилом [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x). За y=cos⁡x⋅1+sin⁡2xy = \cos x \cdot \sqrt{1 + \sin^2 x} извод другог чиниоца је 2sin⁡xcos⁡x21+sin⁡2x\frac{2\sin x\cos x}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}}. После свођења на заједнички именилац и замене cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x добија се y′=−2sin⁡3x1+sin⁡2xy' = -\frac{2\sin^3 x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}}. Корисно је запамтити и (ln⁡(x+x2+1))′=1x2+1\left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}, до чега се долази правилом (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u} и сређивањем бројиоца.

Пишите корак по корак: највише грешака настаје кад се више правила примени одједном, у глави. Сваки чинилац изведите на страни, па тек онда све уврстите у правило производа. Резултат на крају средите што више.

0,20,40,60,81−11234t (s)y (cm)
0,185 s
Отклон y(t)
2,06 cm
Брзина y′(t)
−0,04 cm/s
Нагиб тангенте је брзина каросерије. Испрекидане криве ±4e−3t\pm 4e^{-3t} показују како амортизер гаси њихање, а sin⁡6t\sin 6t одређује када график прелази нулу.

Пригушене осцилације, као њихање каросерије после рупе на путу или звук жице која утихне, описују се производом експоненцијалне и тригонометријске функције, па се њихова брзина рачуна са оба правила одједном.

Амортизер после рупе

Кад точак пређе преко рупе, каросерија аутомобила почне да се њише, а амортизер то њихање брзо гаси. У упрошћеном моделу отклон каросерије од положаја мировања после tt секунди је y(t)=4e−3tsin⁡6ty(t) = 4e^{-3t}\sin 6t центиметара. Одредите брзину каросерије на почетку и тренутак у ком је отклон највећи.

Решење

  1. Чиниоци су u=4e−3tu = 4e^{-3t} и v=sin⁡6tv = \sin 6t, а по правилу сложене функције u′=−12e−3tu' = -12e^{-3t} и v′=6cos⁡6tv' = 6\cos 6t.
  2. По правилу производа: y′=−12e−3tsin⁡6t+24e−3tcos⁡6t=12e−3t(2cos⁡6t−sin⁡6t)y' = -12e^{-3t}\sin 6t + 24e^{-3t}\cos 6t = 12e^{-3t}(2\cos 6t - \sin 6t).
  3. На почетку је y′(0)=12⋅1⋅(2−0)=24y'(0) = 12 \cdot 1 \cdot (2 - 0) = 24, тј. 24 cm у секунди.
  4. Највећи отклон је у првој нули извода: из y′=0y' = 0 следи tg⁡6t=2\operatorname{tg} 6t = 2, па је t=arctg⁡26≈0,18t = \frac{\operatorname{arctg} 2}{6} \approx 0{,}18 s.
  5. Тада је sin⁡6t=25≈0,894\sin 6t = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}894 и e−3t≈0,575e^{-3t} \approx 0{,}575, па је y≈4⋅0,575⋅0,894≈2,06y \approx 4 \cdot 0{,}575 \cdot 0{,}894 \approx 2{,}06 cm.

Одговор: Каросерија креће брзином од 24 cm у секунди, а највећи отклон од око 2,06 cm достиже после око 0,18 s.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције y=xx2+1y = x\sqrt{x^2 + 1} и израчунајте y′(3)y'(\sqrt{3}).

Прикажи решење

y′=x2+1+x⋅2x2x2+1=2x2+1x2+1y' = \sqrt{x^2 + 1} + x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}, па је y′(3)=72y'(\sqrt{3}) = \frac{7}{2}.