Одређени интеграл 1

Одређени интеграл. Дефиниција. Основна својства. Метода смене код одређеног интеграла. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити $\int\limits_1^4 {\sqrt x } dx$

Пр.2) $\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {1 - 2x + 3{x^2}} \right)} dx$

Пр.1) $\int\limits_1^4 {\sqrt x } dx = \int\limits_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \left. {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4 = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_1^4 = \frac{2}{3}{\sqrt 4 ^3} - \frac{2}{3}{\sqrt 1 ^3} = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} =$

$= \frac{2}{3}\left( {8 - 1} \right) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{{14}}{3}$

Пр.2) $\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {1 - 2x + 3{x^2}} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^3 1 dx + \int\limits_{ - 1}^3 { - 2x} dx + \int\limits_{ - 1}^3 {3{x^2}} dx =$

$= \left. x \right|_{ - 1}^3 - 2\left. {\frac{x}{2}} \right|_{ - 1}^3 + 3\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^3 = \left. {\left( {x - {x^2} + {x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^3 =$

$= \left( {3 - {3^2} + {3^3}} \right) - \left( { - 1 - {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^3}} \right) = 3 - 9 + 27 - \left( { - 1 - 1 - 1} \right) = 24$

Одређени интеграл непрекидне функције рачуна се Њутн–Лајбницовом формулом: $\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$ , где је $F$ било која примитивна функција од $f$ . Константа $C$ се при одузимању скрати, па се не пише. Важе правила: интеграл збира је збир интеграла, константа се извлачи испред интеграла, $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ и $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ . Ако је $f(x) \ge 0$ , интеграл је површина испод графика. Корене пре интеграције запишите као степене: $\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$ .

Најчешћа грешка је у одузимању $F(a)$ кад је $a$ негативно: вредност $F(a)$ ставите у заграду. На пример, за $F(x) = x^3 - x^2$ је $F(-1) = -1 - 1 = -2$ , па се одузима $-(-2)$ , то јест додаје 2.

Време b4 s

Пут (површина): 42,67 m
16/3 · b√b: 42,67 m
Брзина у тренутку b: 57,6 km/h

Пут је површина испод графика брзине од 0 до

b

, а по Њутн–Лајбницовој формули једнак је

\frac{16}{3}b\sqrt b

. Кад

b

удвостручите, пут порасте скоро три пута, јер брзина све време расте.

Пређени пут је интеграл брзине по времену, а утрошена енергија интеграл снаге: тако бројило струје сабира киловат-сате, а путни рачунар у аутомобилу пређене километре.

Електрични аутомобил креће

Електрични аутомобил креће из мировања, а мотор ради сталном снагом, па му је брзина $v(t) = 8\sqrt t$ m/s, где је $t$ време у секундама. Колики пут пређе за прве 4 s и коју брзину тада има?

Решење

Пут је одређени интеграл брзине: $s = \int_0^4 8\sqrt t\,dt = 8\int_0^4 t^{\frac{1}{2}}\,dt$ .
Примитивна функција је $8 \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}t\sqrt t$ .
$s = \frac{16}{3}\left(4\sqrt 4 - 0\right) = \frac{16}{3} \cdot 8 = \frac{128}{3} \approx 42{,}7$ m.
Брзина после 4 s је $v(4) = 8 \cdot 2 = 16$ m/s, односно $57{,}6$ km/h, а средња брзина је $\frac{42{,}7}{4} \approx 10{,}7$ m/s.

Одговор: За прве 4 s аутомобил пређе око 42,7 m и убрза до 57,6 km/h.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int_{-2}^{1}(x^2 + 2x - 1)\,dx$ .

Прикажи решење

$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$ ; $F(1) = \frac{1}{3}$ и $F(-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 2 = \frac{10}{3}$ , па је интеграл $\frac{1}{3} - \frac{10}{3} = -3$ . Негативан је јер је функција на већем делу интервала испод осе $x$ .