Функције – граничне вредности функција 1

Тачка нагомилавања, гранична вредност функције. Дефиниција и једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.1) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 7)$

пр.2) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 27} (\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}})$

пр.3) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (\frac{{{{(2 - x)}^3}}}{{{x^4}}})$

пр.4) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} (\frac{{2x}}{{\sqrt[3]{{9 - {x^2}}}}})$

пр.5) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (lnx)$

пр.6) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ln{2^x}} \right)$

пр.7) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {ln{2^x}} \right)$

пр.1) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 7) + 3 \cdot 1 - 7 = 3 - 7 = - 4$

пр.2) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 27} \left( {\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}} \right) = \frac{2}{{3\sqrt[3]{{ - 27}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{{\left( { - 3} \right)}^3}}}}} = \frac{2}{{3 \cdot \left( { - 3} \right)}} = - \frac{2}{9}$

пр.3) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{{{(2 - x)}^3}}}{{{x^4}}}} \right) = \frac{{{{(2 - 2)}^3}}}{{{2^4}}} = \frac{0}{{16}} = 0$

пр.4) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {\frac{{2x}}{{\sqrt[3]{{9 - {x^2}}}}}} \right) = \frac{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}}{{\sqrt[3]{{9 - {{\left( { - 3} \right)}^2}}}}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt[3]{{9 - 9}}}} = \frac{{ - 6}}{0} = - \infty$

пр.5) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (lnx) = ln0 = - \infty$

437 png

пр.6) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ln{2^x}} \right) = + \infty$

438 png

пр.7) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {ln{2^x}} \right) = 0$

Гранична вредност $\lim_{x \to a} f(x) = L$ значи да се вредности $f(x)$ приближавају броју $L$ кад се $x$ приближава тачки $a$ , при чему $x$ не мора да достигне $a$ . Код полинома, корена и других функција које су у тачки $a$ дефинисане и непрекидне довољно је уврстити $a$ : $\lim_{x \to 1}(3x - 7) = 3 \cdot 1 - 7 = -4$ .

Ако се уврштавањем добије $\frac{c}{0}$ за $c \ne 0$ , гранична вредност је бесконачна, а њен знак зависи од стране са које $x$ прилази тачки, па одвојено рачунајте леви и десни лимес. Кад $x \to 0^+$ , $\ln x \to -\infty$ , а кад $x \to +\infty$ , $\ln x \to +\infty$ . Пазите и на правила логаритма: $\ln 2^x = x\ln 2$ , па за $x \to -\infty$ тај израз тежи ка $-\infty$ , а не ка нули.

Брзина v20 km/h

Време t(v): 3 h

Кад тачку водите ка

v = 20

, време се приближава вредности од 3 сата. Близу нуле график бежи увис,

t \to +\infty

, а за велике брзине се спушта ка оси

v

, али је никад не додирне.

Граничним вредностима инжењери проверавају понашање формуле близу критичне тачке: време пута $t = \frac{s}{v}$ неограничено расте кад брзина тежи нули, као и сила између два наелектрисања кад им растојање тежи нули.

Бициклиста на стази од 60 km

Бициклиста вози стазу дугу 60 km просечном брзином од $v$ km/h, па вожња траје $t(v) = \frac{60}{v}$ сати. Израчунајте $\lim_{v \to 20} t(v)$ , $\lim_{v \to 0^+} t(v)$ и $\lim_{v \to +\infty} t(v)$ и објасните резултате.

Решење

Функција $t$ је за $v = 20$ дефинисана и непрекидна, па уврштавамо: $\lim_{v \to 20}\frac{60}{v} = \frac{60}{20} = 3$ сата.
Кад $v \to 0^+$ , именилац тежи нули са позитивне стране, а бројилац је 60, па је $\lim_{v \to 0^+}\frac{60}{v} = +\infty$ : што спорије вози, вожња траје дуже, без горње границе.
Кад $v \to +\infty$ , именилац неограничено расте, па је $\lim_{v \to +\infty}\frac{60}{v} = 0$ : време се приближава нули, али га ниједна брзина не своди на нулу.

Одговор: Граничне вредности су 3 сата, $+\infty$ и 0: при брзини близу 20 km/h вожња траје око 3 сата, при брзини близу нуле неограничено дуго, а време никад не постаје нула.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 + 1}{x + 3}$ и $\lim_{x \to 0^+}(2 + \ln x)$ .

Прикажи решење

Уврштавањем: $\frac{4 + 1}{2 + 3} = 1$ . Кад $x \to 0^+$ , $\ln x \to -\infty$ , па $2 + \ln x \to -\infty$ .