Функције – граничне вредности функција 7

Гранична вредност функције. Неодређеност један на бесконачно, лимеси тригонометријских функција, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.21) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}})^{3x}}$

пр.22) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{x}$

пр.23) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin 3x}}$

пр.24) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}}$

пр.25) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{{tg 6x}}{{tg 2x}}$

пр.21)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}}} \right)^{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}} - 1} \right)^{3x}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 1 - \left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}}} \right)^{3x}}= \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}}} \right)^{3x}} = \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x} = e} \\ &\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 2x + 2}}}}} \right)^{\frac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 2x + 2}} \cdot \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 1}} \cdot 3x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {3{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right):{x^3}}}{{\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right):{x^3}}}}} = \\ &= {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{3{x^3}}}{{{x^3}}} - \frac{{6{x^2}}}{{{x^3}}} + \frac{{6x}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{2{x^3}}}{{{x^3}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \frac{{2x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}}}} = {e^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{e^3}}\end{aligned}$

пр.22)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 4\frac{{\sin 4x}}{{4x}} = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{4x}} = 4 \cdot 1 = 4 \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1}\end{aligned}$

пр.23) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin 3x}}{x}} \right)^{ - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {3\frac{{\sin 3x}}{{3x}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {3 \cdot 1} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{3}$

пр.24) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x \cdot \frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}{{4x \cdot \frac{{\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}$

пр.25)

$\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg 6x}}{{tg 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin 6x}}{{\cos 6x}}}}{{\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x \cdot \cos 2x}}{{\cos 6x \cdot \sin 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x}}{{\sin 2x}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x \cdot \frac{{\sin 6x}}{{6x}}}}{{2x \cdot \frac{{\sin 2x}}{{2x}}}} = \frac{6}{2} = 3\end{aligned}$

Ако основа израза облика $1^\infty$ није облика $1 + \frac{1}{t}$ , додајте и одузмите 1 и сведите на заједнички именилац: $\frac{2x^3 + 2x^2 + 1}{2x^3 + x^2 + 2x + 1} = 1 + \frac{x^2 - 2x}{2x^3 + x^2 + 2x + 1}$ . Затим важи $(1 + u)^v \to e^{\lim uv}$ , па је лимес овог израза на степен $3x$ једнак $e^{\frac{3}{2}}$ . Поступак је исти као у претходној лекцији, само је разломак у основи сложенији.

Код тригонометријских функција основни лимес је $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ . Аргумент синуса и именилац морају бити исти: $\frac{\sin 4x}{x} = 4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} \to 4$ . Уопште, $\frac{\sin ax}{\sin bx} \to \frac{a}{b}$ , а пошто је $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\cos 0 = 1$ , и $\frac{\operatorname{tg} ax}{\operatorname{tg} bx} \to \frac{a}{b}$ . Код $\frac{x}{\sin 3x}$ окрените разломак, па је лимес $\frac{1}{3}$ . Пазите да $x \to 0$ : кад $x \to \infty$ , $\frac{\sin x}{x} \to 0$ . Угао мора бити у радијанима.

Коефицијент k2

Тачка x₀0,5

sin(kx₀)/x₀: 1,6829
Гранична вредност k: 2

Функција

\frac{\sin kx}{x}

није дефинисана у нули (празан кружић), али јој се вредности приближавају броју

k

, испрекиданој правој. Превуците тачку ка нули и пратите вредност: са обе стране тежи ка

k

.

Апроксимација $\sin x \approx x$ за мале углове, која следи из $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ , користи се у физици клатна, у оптици и у геодезији, где се за мале углове лук може заменити тетивом.

Лук и тетива на Земљи

Два места удаљена су 200 km мерено по површини Земље, чији је полупречник $R = 6371$ km. Ако је $\theta$ централни угао између њих у радијанима, лук је $l = R\theta$ , а права дуж кроз Земљу, тетива, $d = 2R\sin\frac{\theta}{2}$ . Одредите граничну вредност односа $\frac{d}{l}$ кад $\theta \to 0$ и израчунајте колико је тетива краћа од лука.

Решење

Однос је $\frac{d}{l} = \frac{2R\sin\frac{\theta}{2}}{R\theta} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}$ .
Са сменом $u = \frac{\theta}{2}$ , где $u \to 0$ , добијамо $\lim_{\theta \to 0}\frac{d}{l} = \lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$ : за мале углове тетива је скоро једнака луку.
За наша места: $\theta = \frac{200}{6371} \approx 0{,}0314$ , па је $u \approx 0{,}0157$ и $\frac{d}{l} = \frac{\sin u}{u} \approx 0{,}99996$ .
Тетива је $d \approx 200 \cdot 0{,}99996 \approx 199{,}992$ km, дакле краћа од лука само око 8 m.

Одговор: Однос тежи ка 1, а на растојању од 200 km права дуж кроз Земљу краћа је од пута по површини само око 8 m.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{tg} 3x}{5x}$ и $\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x + 1}\right)^x$ .

Прикажи решење

$\frac{\operatorname{tg} 3x}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \to \frac{3}{5}$ . Основа је $1 + \frac{2}{x + 1}$ , па је други лимес $e^{\lim \frac{2x}{x + 1}} = e^2$ .