Функције – извод функције 3

Извод функције. Таблица извода. Правила за диференцирање. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одредити први извод функције:

а) $y = 5$

б) $y = - \frac{2}{3}$

в) $y = - 0,005$

Пр.2) Одредити први извод функције:

а) $y = {x^7}$

б) $y = {x^{ - 10}}$

в) $y = {x^{\frac{2}{7}}}$

Пр.3) Одредити извод функције $y = \sqrt[4]{x}$ .

Пр.4) Одредити извод функције $y = x\sqrt {{x^3}}$ .

Пр.5) Одредити извод функције $y = 4 \cdot {x^5}$ .

Пр.6) Одредити извод функције $y = \frac{{4\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3}$ .

Пр.1) а) $y = 5$ $y' = 0$

б) $y = - \frac{2}{3}$ $y' = 0$

в) $y = - 0,005$ $y' = 0$

Пр.2) а) $y = {x^7}$ $y' = 7{x^{7 - 1}} = 7{x^6}$

б) $y = {x^{ - 10}}$ $y' = - 10{x^{ - 10 - 1}} = - 10{x^{ - 11}}$

в) $y = {x^{\frac{2}{7}}}$ $y' = \frac{2}{7}{x^{\frac{2}{7} - 1}} = \frac{2}{7}{x^{\frac{5}{7}}}$

Пр.3) $y = \sqrt[4]{x}$

$y' = {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{4}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{4}{x^{\frac{1}{4} - 1}} = \frac{1}{4}{x^{ - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{{x^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{x^3}}}}}$

Пр.4) $y = x\sqrt {{x^3}}$

$y' = {\left( {x\sqrt {{x^3}} } \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{5}{2}{x^{\frac{5}{2} - 1}} = \frac{5}{2}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt[2]{{{x^3}}}$

Пр.5) $y = 4 \cdot {x^5}$

$y' = {\left( {4 \cdot {x^5}} \right)^\prime } = 4{\left( {{x^5}} \right)^\prime } = 4 \cdot 5{x^{5 - 1}} = 20{x^4}$

Пр.6) $y = \frac{{4\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3}$

$y' = {\left( {\frac{{4\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3}} \right)^\prime } = \frac{4}{3}{\left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} - 1}} = \frac{8}{9}{x^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{8}{{9\sqrt[3]{x}}}$

Извод сваке константе је нула, на пример $(5)' = 0$ . За степен важи правило $(x^n)' = nx^{n - 1}$ : изложилац пређе испред као чинилац, а у изложиоцу се одузме јединица. Правило важи за сваки реалан изложилац: природан, негативан или разломак. Константа испред функције остаје: $(c \cdot x^n)' = c \cdot nx^{n - 1}$ . Корене и разломке зато прво запишите као степене, $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$ , $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ , $x\sqrt{x^3} = x^{\frac{5}{2}}$ , па тек онда изводите. Тако је $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Највише грешака настаје при одузимању јединице од изложиоца: $-10 - 1 = -11$ , а $\frac{2}{7} - 1 = -\frac{5}{7}$ , не $\frac{5}{7}$ . Резултат на крају вратите у облик са коренима и позитивним изложиоцима.

Изложилац n0,5

Тачка x₀1

n · x₀ⁿ⁻¹: 0,5
Нагиб тангенте: 0,5

Нагиб тангенте увек је једнак

nx_0^{n - 1}

. За

n = 0{,}5

крива је

\sqrt{x}

и у

x_0 = 1

нагиб је

\frac{1}{2}

, а за негативно

n

функција опада, па је и нагиб негативан.

Многе формуле из физике и технике садрже степене: период клатна зависи од $\sqrt{l}$ , снага ветрењаче од $v^3$ , а запремина коцке од $a^3$ . Извод степена показује колико се таква величина промени кад се $l$ , $v$ или $a$ мало промени.

Подешавање зидног сата

Клатно зидног сата дугачко $l$ метара има период, време једног њихаја тамо и назад, приближно $T(l) = 2\sqrt{l}$ секунди. Часовничар подешава клатно дугачко 64 cm. Колики је период и за колико се приближно промени ако клатно продужи за 1 cm?

Решење

Корен запишемо као степен: $T(l) = 2l^{\frac{1}{2}}$ .
Извод степена: $T'(l) = 2 \cdot \frac{1}{2}l^{\frac{1}{2} - 1} = l^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{l}}$ .
За $l = 0{,}64$ m: $T = 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6$ s и $T'(0{,}64) = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ секунди по метру.
Продужење од 1 cm, тј. $0{,}01$ m, мења период за приближно $1{,}25 \cdot 0{,}01 = 0{,}0125$ s.

Одговор: Период је 1,6 s, а продужење клатна за 1 cm повећава га за приближно 0,0125 s.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције $y = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ и израчунајте $y'(8)$ .

Прикажи решење

$y = 6x^{-\frac{1}{3}}$ , па је $y' = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{x\sqrt[3]{x}}$ . За $x = 8$ : $y'(8) = -\frac{2}{8 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$ .