Неодређени интеграли – метода смене 1

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити

Пр.1) ${\int {\left( {5 - 2x} \right)} ^9}dx$

Пр.2) $\int {\sqrt[3]{{4x + 3}}} dx$

Пр.3) $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}$

Пр.1) ${\int {\left( {5 - 2x} \right)} ^9}dx=$

Смена: $5 - 2x = t/'$

${\left( {5 - 2x} \right)^\prime }dx = t'dt$

$- 2dx = dt$

$dx = \frac{{dt}}{{ - 2}}$

$= \int {{t^9}\frac{{dt}}{{ - 2}} = - \frac{1}{2}} \int {{t^9}dt = - \frac{1}{2}} \cdot \frac{{{t^{10}}}}{{10}} + C = - \frac{{{t^{10}}}}{{20}} + C = - \frac{{{{\left( {5 - 2x} \right)}^{10}}}}{{20}} + C$

Пр.2) $\int {\sqrt[3]{{4x + 3}}} dx=$

Смена: $4x + 3 = t/'$

${\left( {4x + 3} \right)^\prime }dx = t'dt$

$4dx = dt$

$dx = \frac{1}{4}dt$

$= \int {\sqrt[3]{t}} \frac{1}{4}dt = \frac{1}{4}\int {\sqrt[3]{t}} dt = \frac{1}{4}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{t^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}} + C =$

$= \frac{3}{{16}}\sqrt[3]{{{t^4}}} + C = \frac{3}{{16}}\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 3} \right)}^4}}} + C$

Пр.3) $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}$

Смена: $1 - {x^2} = t/'$

${\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime } = t'dt$

$- 2xdx = dt$

$xdx = \frac{{dt}}{{ - 2}}$

$= \int {\frac{{\frac{{dt}}{{ - 2}}}}{{\sqrt t }}} = - \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}} = - \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{{t^{\frac{1}{2}}}}}} = - \frac{1}{2}\int {{t^{ - \frac{1}{2}}}} dt =$

$= - \frac{1}{2}\frac{{{t^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + C = - \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C = \sqrt t + C = \sqrt {1 - {x^2}} + C$

Метода смене своди интеграл на таблични. Ако подинтегрална функција садржи унутрашњу функцију $g(x)$ и њен извод, уводимо $t = g(x)$ и $dt = g'(x)\,dx$ , па је $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$ . Најпростија је линеарна смена $t = ax + b$ : из $dt = a\,dx$ следи $dx = \frac{dt}{a}$ , па је $\int (ax + b)^n\,dx = \frac{(ax + b)^{n + 1}}{a(n + 1)} + C$ за $n \ne -1$ . Корене пре интеграције запишите као степене, на пример $\sqrt{2x - 1} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}}$ . Кад уз $\sqrt{1 - x^2}$ стоји $x\,dx$ , смена $t = 1 - x^2$ даје $x\,dx = -\frac{dt}{2}$ . Ако је $a$ негативно, као у $5 - 2x$ , и фактор $\frac{1}{a}$ је негативан, па пазите на знак.

Најчешће грешке су изостављен фактор $\frac{1}{a}$ и резултат остављен по $t$ : на крају се увек вратите на $x$ и проверите резултат извођењем.

Тренутак t₀10 s

Брзина v(t₀): 0,67 m/s
Нагиб тангенте на v: −0,044
Убрзање a(t₀): −0,044 m/s²

Плава крива је брзина

v(t) = \frac{2}{1 + 0{,}2t}

, а љубичаста убрзање

a(t)

. Нагиб тангенте на

v

у тренутку

t_0

једнак је

a(t_0)

: то је провера да је

v

примитивна функција од

a

.

Линеарна смена се јавља кад величина зависи од израза $at + b$ : физичари и инжењери њоме из убрзања добијају брзину, на пример код чамца или бицикла који успоравају због отпора воде или ваздуха.

Кајак успорава

Кајакаш на Ади Циганлији престаје да весла кад кајак има брзину 2 m/s. Због отпора воде кајак затим успорава, а његово убрзање после $t$ секунди је $a(t) = -\frac{0{,}4}{(1 + 0{,}2t)^2}$ m/s². Одредите брзину $v(t)$ и израчунајте колика је после 10 s.

Решење

Брзина је примитивна функција убрзања: $v(t) = \int -0{,}4(1 + 0{,}2t)^{-2}\,dt$ .
Пошто је $t$ већ време, смену означимо са $u$ : $u = 1 + 0{,}2t$ , $du = 0{,}2\,dt$ , па је $dt = 5\,du$ .
$v = -0{,}4 \cdot 5\int u^{-2}\,du = -2 \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{2}{1 + 0{,}2t} + C$ .
Из $v(0) = 2$ следи $2 + C = 2$ , дакле $C = 0$ и $v(t) = \frac{2}{1 + 0{,}2t}$ .
После 10 s: $v(10) = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$ m/s.

Одговор: Брзина кајака је $v(t) = \frac{2}{1 + 0{,}2t}$ m/s, а после 10 s износи око 0,67 m/s.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \sqrt{2x + 5}\,dx$ .

Прикажи решење

Смена $t = 2x + 5$ , $dx = \frac{dt}{2}$ : $\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}\,dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}\sqrt{(2x + 5)^3} + C$ .