Функције – нуле функције 2

Функције. Нуле функције. Одређивање домена и нула функције на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити нуле функције:

пр.4) $y={\log _2}\frac{{{x^2}-9x + 18}}{{{x^2} - 5x+6}}$

пр.4)

$\begin{aligned}&y = {\log _2}\frac{{{x^2} - 9x + 18}}{{{x^2} - 5x + 6}} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {Df:}&{\frac{{{x^2} - 9x + 18}}{{{x^2} - 5x + 6}} > 0}& \cap &{{x^2} - 5x + 6 \ne 0} \\ {}&{{x^2} - 9x + 18 = 0}&{}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} \ne 2}&{{x_2} \ne 3} \end{array}} \\ {}&{{x_{1,2}} = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - 72} }}{2}}&{}&{} \\ {}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 3}&{{x_2} = 6} \end{array}}&{}&{} \\ {}&{{x^2} - 5x + 6 = 0}&{}&{} \\ {}&{{x_{1,2}} = \frac{{5 \pm \sqrt {25 - 24} }}{2}}&{}&{} \\ {}&{\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 2}&{{x_2} = 3} \end{array}}&{}&{} \end{array}\end{aligned}$ 425 png

426 png

$Df:x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)$

нуле:

$\begin{aligned}&y = 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\log }_2}\frac{{{x^2} - 9x + 18}}{{{x^2} - 5x + 6}} = 0}&{}&{\log A = 0 \Leftrightarrow A = 1} \end{array} \\ &\frac{{{x^2} - 9x + 18}}{{{x^2} - 5x + 6}} = 1 \\ &\frac{{{x^2} - 9x + 18}}{{{x^2} - 5x + 6}} - 1 = 0 \\ &\frac{{{x^2} - 9x + 18 - \left( {{x^2} - 5x + 6} \right)}}{{{x^2} - 5x + 6}} = 0 \\ &\frac{{{x^2} - 9x + 18 - {x^2} + 5x - 6}}{{{x^2} - 5x + 6}} = 0 \\ &\frac{{ - 4x + 12}}{{{x^2} - 5x + 6}} = 0 \\ &- 4x + 12 = 0 \\ &x = 3 \notin Df\end{aligned}$

Логаритамска функција је нула кад јој је аргумент једнак 1, јер је $\log_a A = 0 \Leftrightarrow A = 1$ . Зато се $\log_2\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 5x + 6} = 0$ своди на $\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 5x + 6} = 1$ : пребаците 1 на леву страну, сведите на заједнички именилац и изједначите бројилац са нулом.

Пре тога одредите домен: аргумент мора бити позитиван, а именилац различит од нуле. Тек онда проверите решења. У примеру са странице добија се $x = 3$ , али за $x = 3$ је именилац $x^2 - 5x + 6$ једнак нули, па $3 \notin D_f$ и функција нема нула. Честа грешка је скраћивање разломка пре одређивања домена, чиме се губи услов $x \ne 3$ .

Почетна температура T₀90°C

Температура T55°C

Нула функције: 90°C
Време t(T): 13,9 min

График показује за колико минута се чај охлади до температуре

T

. Нула функције је увек у

T = T_0

, јер је тада аргумент логаритма

\frac{T_0 - 20}{T - 20}

једнак 1. Испрекидана вертикала

T = 20

је граница домена. Испрекидани део криве, десно од нуле, описује температуре веће од почетне: ту је време негативно.

Логаритми се јављају у формулама за време хлађења, распада лека или отплате кредита; нула такве функције показује тренутак у ком је величина још једнака почетној.

Чај који се хлади

Чај од 90 °C оставите у соби у којој је 20 °C. По Њутновом закону хлађења, за ову шољу време у минутима за које се чај охлади до температуре $T$ је $t(T) = 20\ln\frac{70}{T - 20}$ . Одредите домен и нулу ове функције и објасните их, па израчунајте за колико минута ће чај имати 55 °C.

Решење

Домен: $T - 20 \ne 0$ и $\frac{70}{T - 20} > 0$ , а то важи за $T > 20$ . Чај се никад не охлади испод собне температуре.
Нула: $t(T) = 0$ кад је $\ln\frac{70}{T - 20} = 0$ , односно кад је $\frac{70}{T - 20} = 1$ .
Одатле је $T - 20 = 70$ , па је $T = 90$ , што припада домену. Нула функције је тренутак сипања, кад чај још има почетну температуру.
За $T = 55$ : $t = 20\ln\frac{70}{35} = 20\ln 2 \approx 13{,}9$ min.

Одговор: Домен је $T > 20$ , нула функције је $T = 90$ (тренутак сипања), а чај ће имати 55 °C после око 14 минута.

Задатак за вежбу

Одредите нуле функције $y = \log_2\frac{x^2 - 1}{x + 1}$ .

Прикажи решење

Из $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 1$ следи $x^2 - x - 2 = 0$ , па је $x = 2$ или $x = -1$ . За $x = -1$ именилац је нула, па је једина нула $x = 2$ .