Функције – извод функције 8

Извод функције. Извод сложене функције. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити извод функције:

Пр.7) $y = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}$

Пр.8) $y = \ln \sqrt[3]{{2x - 1}}$

Пр.9) $y = {\left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)^2}$

Пр.7) $y = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}$

$y' = {\left( {\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} } \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{\frac{1}{2} - 1}}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime } =$

$= \frac{1}{2}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =$

$= \frac{1}{2}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Пр.8) $y = \ln \sqrt[3]{{2x - 1}}$

$y' = \frac{1}{{\sqrt[3]{{2x - 1}}}} \cdot {\left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt[3]{{2x - 1}}}} \cdot \frac{1}{3} \cdot {\left( {2x - 1} \right)^{\frac{1}{3} - 1}} \cdot {\left( {2x - 1} \right)^\prime } =$

$= \frac{1}{{\sqrt[3]{{2x - 1}}}} \cdot \frac{1}{3} \cdot {\left( {2x - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} \cdot 2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {2x - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{2}{{3\left( {2x - 1} \right)}}$

Пр.9) $y = {\left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)^2}$

$y' = {\left( {{{\left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)^\prime } =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot {\left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)^\prime } =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + {{\left( {{{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right)}^\prime }} \right) =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + 2\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right) \cdot {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }} \right) =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + 2\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + {{\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }} \right)} \right) =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + 2\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)\left( {1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }} \right)} \right) =$

$= 2 \cdot \left( {x + {{\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {1 + 2\left( {x + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)\left( {1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right)2x} \right)} \right)$

Кад је функција сложена у више слојева, правило сложене функције примењујете више пута, од спољашњег слоја ка унутрашњем, и множите изводе свих слојева. Пре почетка запишите слојеве редом, да ниједан не изостане. За $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$ слојеви су корен и разломак: $\frac{1}{2}\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{-\frac{1}{2}}$ множите изводом разломка, који по правилу количника износи $\frac{-2}{(x - 1)^2}$ . Логаритам корена прво поједноставите, $\ln\sqrt[3]{2x - 1} = \frac{1}{3}\ln(2x - 1)$ , па је извод одмах $\frac{2}{3(2x - 1)}$ . Кад је степен унутар степена, сваки слој даје по један чинилац.

Пазите на знак код количника и на то да негативан изложилац обрће разломак: $\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$ .

Време20 s

Растојање d(t): 5 km
d′(t): −0,16 km/s

Нагиб тангенте је брзина којом се растојање мења. У

t = 40

s авион је тачно изнад радара: растојање је најмање, 3 km, а извод је нула. Затим растојање поново расте.

Растојање између два објекта који се крећу, на пример авиона и радара, корен је збира квадрата разлика координата које се мењају с временом. Брзина приближавања зато је извод сложене функције у више слојева.

Авион изнад радара

Авион лети на висини од 3 km право ка радарској станици и прелази 0,2 km у секунди. У тренутку $t = 0$ водоравно је удаљен 8 km од станице, па је после $t$ секунди растојање од радара $d(t) = \sqrt{9 + (8 - 0{,}2t)^2}$ километара. Колико брзо се растојање смањује после 20 секунди?

Решење

Слојеви су корен, квадрат и линеарна функција $8 - 0{,}2t$ , чији је извод $-0{,}2$ .
$d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{9 + (8 - 0{,}2t)^2}} \cdot 2(8 - 0{,}2t) \cdot (-0{,}2) = \frac{-0{,}2(8 - 0{,}2t)}{\sqrt{9 + (8 - 0{,}2t)^2}}$ .
За $t = 20$ је $8 - 0{,}2 \cdot 20 = 4$ и $\sqrt{9 + 16} = 5$ , па је $d(20) = 5$ km.
$d'(20) = \frac{-0{,}2 \cdot 4}{5} = -0{,}16$ : растојање се смањује за 0,16 km, тј. 160 m у секунди.

Одговор: После 20 s авион је 5 km од радара, а растојање се смањује брзином од 160 m/s.

Задатак за вежбу

Одредите извод функције $y = \ln\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ и израчунајте $y'\left(\frac{1}{2}\right)$ .

Прикажи решење

$y = \frac{1}{2}\ln(1 + x) - \frac{1}{2}\ln(1 - x)$ , па је $y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - x^2}$ и $y'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3}$ .