Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – граничне вредности функција 6

Гранична вредност функције.Таблица граничних вредности. Неодређеност један на бесконачно, сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.18)   lim⁡x→∞(1+5x)x\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{5}{x})^x}

пр.19)   lim⁡x→0(1+2x)35x\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 2x)^{\frac{3}{{5x}}}}

пр.20)   lim⁡x→∞(1−x7−x)23x\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{1 - x}}{{7 - x}})^{\frac{2}{3}x}}

пр.18)   

lim⁡x→∞(1+5x)x=(1+5∞)∞=1∞lim⁡x→∞(1+1x)x=elim⁡x→∞(1+1x5)x5⋅5x⋅x=e5\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{5}{x})^x} = {\left( {1 + \frac{5}{\infty }} \right)^\infty } = {1^\infty } \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x} = e} \\ &\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{x}{5}}}} \right)^{\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{x} \cdot x}} = {e^5}\end{aligned}

пр.19)   

lim⁡x→0(1+2x)35x=(1+0)35⋅0=1∞lim⁡x→0(1+x)1x=elim⁡x→0(1+2x)12x⋅2x1⋅35x=e65=e65\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 2x)^{\frac{3}{{5x}}}} = {\left( {1 + 0} \right)^{^{\frac{3}{{5 \cdot 0}}}}} = {1^\infty } \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{x}}} = e} \\ &\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 2x)^{\frac{1}{{2x}} \cdot \frac{{2x}}{1} \cdot \frac{3}{{5x}}}} = {e^{\frac{6}{5}}} = \sqrt[5]{{{e^6}}}\end{aligned}

пр.20)  

lim⁡x→∞(1−x7−x)23x=lim⁡x→∞(1+1−x7−x−1)23x=lim⁡x→∞(1+1−x−8+x7−x)23x==lim⁡x→∞(1+−67−x)23x=lim⁡x→∞(1+1x)x=e=lim⁡x→∞(1+17−x−6)7−x−6⋅−67−x⋅23x=elim⁡x→∞−4x7−x⋅xx=elim⁡x→∞−4xx7−xx=elim⁡x→∞−47x−1=e−4−1=e4\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{1 - x}}{{7 - x}}} \right)^{\frac{2}{3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{1 - x}}{{7 - x}} - 1} \right)^{\frac{2}{3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{1 - x - 8 + x}}{{7 - x}}} \right)^{\frac{2}{3}x}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 6}}{{7 - x}}} \right)^{\frac{2}{3}x}} = \\ &\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x} = e} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{{7 - x}}{{ - 6}}}}} \right)^{\frac{{7 - x}}{{ - 6}} \cdot \frac{{ - 6}}{{7 - x}} \cdot }}^{\frac{2}{3}x} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 4x}}{{7 - x}} \cdot \frac{x}{x}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{ - 4x}}{x}}}{{\frac{{7 - x}}{x}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 4}}{{\frac{7}{x} - 1}}}} = {e^{\frac{{ - 4}}{{ - 1}}}} = {e^4}\end{aligned}

Неодређеност 1∞1^\infty јавља се кад основа тежи јединици, а изложилац бесконачности. Тада не важи правило „1 на било који степен је 1“. Решава се помоћу броја e≈2,718e \approx 2{,}718: lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e и lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e. Прво уврстите граничну вредност и проверите да ли заиста добијате 1∞1^\infty: ако основа тежи броју различитом од 1, лимес се рачуна директно.

Основу напишите у облику 1+1t1 + \frac{1}{t}, где t→∞t \to \infty, па изложилац проширите са tt: (1+5x)x=[(1+1x/5)x/5]5→e5\left(1 + \frac{5}{x}\right)^x = \left[\left(1 + \frac{1}{x/5}\right)^{x/5}\right]^5 \to e^5. Ако основа није тог облика, као 1−x7−x\frac{1 - x}{7 - x}, додајте и одузмите 1: 1−x7−x=1+−67−x\frac{1 - x}{7 - x} = 1 + \frac{-6}{7 - x}. Уопште, ако u→0u \to 0 и v→∞v \to \infty, онда (1+u)v→elim⁡uv(1 + u)^v \to e^{\lim uv}. Честа грешка је да се изложилац не помножи истим бројем којим је подељен разломак у основи.

102030400,511,522,5xyP
−1
10
Вредност за x корака
0,3487
Гранична вредност eᵃ
0,3679
График је (1+ax)x\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x. Кад xx расте, основа тежи 1, а вредност се ипак не приближава јединици, него испрекиданој правој y=eay = e^a. За a=−1a = -1 то је сок из примера, а за a=1a = 1 број e≈2,718e \approx 2{,}718.

Број ee и неодређеност 1∞1^\infty појављују се свуда где се нешто мења у много малих корака: код камате која се обрачунава све чешће, раста бактерија, хлађења и разблаживања раствора.

Сок који се разблажује

У бокалу је 1 l сока. Одлијете 1n\frac{1}{n} литра и долијете исто толико воде, па то поновите укупно nn пута. После тога у бокалу је s(n)=(1−1n)ns(n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n литара сока. Колико сока остаје за n=10n = 10 и ком броју тежи s(n)s(n) кад n→∞n \to \infty?

Решење

  1. Сваким преливањем остаје 1−1n1 - \frac{1}{n} од количине сока, па после nn преливања (1−1n)n\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n. За n=10n = 10: 0,910≈0,3490{,}9^{10} \approx 0{,}349 l.
  2. Кад n→∞n \to \infty, основа тежи 1, а изложилац бесконачности: неодређеност 1∞1^\infty.
  3. Пишемо 1−1n=1+1−n1 - \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{-n} и изложилац као (−n)⋅(−1)(-n) \cdot (-1): s(n)=[(1+1−n)−n]−1s(n) = \left[\left(1 + \frac{1}{-n}\right)^{-n}\right]^{-1}.
  4. Кад −n→−∞-n \to -\infty, израз у загради такође тежи ка ee, па s(n)→e−1=1e≈0,368s(n) \to e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 l.

Одговор: За n=10n = 10 остаје око 0,35 l сока, а што је преливања више, а количине мање, сока остаје све ближе 1e≈0,37\frac{1}{e} \approx 0{,}37 l.

Задатак за вежбу

Израчунајте lim⁡x→0(1−4x)12x\lim_{x \to 0}(1 - 4x)^{\frac{1}{2x}}.

Прикажи решење

(1−4x)12x=[(1−4x)1−4x]−2→e−2≈0,135(1 - 4x)^{\frac{1}{2x}} = \left[(1 - 4x)^{\frac{1}{-4x}}\right]^{-2} \to e^{-2} \approx 0{,}135.